设向量组α1=(1,2,3,6),α2=(1,-1,2,4),α3=(-1,1,-2,-8),α4=(1,2,3,2).(1)求该向量组的一个极大线性无关组;(2)将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合

步骤 1：构造矩阵
构造矩阵$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)$，其中$\alpha_1=(1,2,3,6)$，$\alpha_2=(1,-1,2,4)$，$\alpha_3=(-1,1,-2,-8)$，$\alpha_4=(1,2,3,2)$。矩阵$A$为：
$$
A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 & 1 \\
2 & -1 & 1 & 2 \\
3 & 2 & -2 & 3 \\
6 & 4 & -8 & 2
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：化简矩阵
对矩阵$A$进行初等行变换，化简为行阶梯形矩阵。首先，将第一行乘以-2加到第二行，乘以-3加到第三行，乘以-6加到第四行，得到：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 & 1 \\
0 & -3 & 3 & 0 \\
0 & -1 & 1 & 0 \\
0 & -2 & 2 & -4
\end{pmatrix}
$$
然后，将第二行乘以-1/3加到第三行，乘以-2/3加到第四行，得到：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 & 1 \\
0 & -3 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -4
\end{pmatrix}
$$
最后，将第四行乘以-1/4，得到：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 & 1 \\
0 & -3 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$
步骤 3：确定极大线性无关组
从行阶梯形矩阵中可以看出，第一列、第二列和第四列的主元位置，因此$\alpha_1$，$\alpha_2$和$\alpha_4$构成极大线性无关组。
步骤 4：表示其余向量
由于$\alpha_3$可以表示为$\alpha_1$，$\alpha_2$和$\alpha_4$的线性组合，我们可以通过解方程组找到具体的线性组合系数。从行阶梯形矩阵中可以看出，$\alpha_3$可以表示为$\alpha_1$，$\alpha_2$和$\alpha_4$的线性组合，即$\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_4$。