题目
求 =sqrt ({x)^2+(y)^2+(z)^2} 在点 _(0)(1,2,-2) 处沿过该点的等值面外法线方向的方向-|||-导数.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定等值面方程
给定函数 $u=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$，在点 ${P}_{0}(1,2,-2)$ 处的等值面方程为 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=9$，因为 $u$ 在 ${P}_{0}$ 处的值为 $\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{9}=3$。
步骤 2：计算等值面的法向量
等值面的法向量 $\overrightarrow{n}$ 可以通过计算函数 $u$ 的梯度得到，即 $\overrightarrow{n}=\nabla u=(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z})$。在点 ${P}_{0}(1,2,-2)$ 处，$\overrightarrow{n}=(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}){|_{P_0}}=(\frac{1}{3},\frac{2}{3},-\frac{2}{3})$。
步骤 3：计算方向导数
方向导数是函数在给定方向上的变化率，可以通过点 ${P}_{0}$ 处的梯度与方向向量的点积来计算。由于等值面的外法线方向与梯度方向相同，方向导数即为梯度的模长，即 $\frac{\partial u}{\partial n}=\sqrt{(\frac{1}{3})^2+(\frac{2}{3})^2+(-\frac{2}{3})^2}=\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{4}{9}+\frac{4}{9}}=\sqrt{1}=1$。
给定函数 $u=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$，在点 ${P}_{0}(1,2,-2)$ 处的等值面方程为 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=9$，因为 $u$ 在 ${P}_{0}$ 处的值为 $\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{9}=3$。
步骤 2：计算等值面的法向量
等值面的法向量 $\overrightarrow{n}$ 可以通过计算函数 $u$ 的梯度得到，即 $\overrightarrow{n}=\nabla u=(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z})$。在点 ${P}_{0}(1,2,-2)$ 处，$\overrightarrow{n}=(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}){|_{P_0}}=(\frac{1}{3},\frac{2}{3},-\frac{2}{3})$。
步骤 3：计算方向导数
方向导数是函数在给定方向上的变化率，可以通过点 ${P}_{0}$ 处的梯度与方向向量的点积来计算。由于等值面的外法线方向与梯度方向相同，方向导数即为梯度的模长，即 $\frac{\partial u}{\partial n}=\sqrt{(\frac{1}{3})^2+(\frac{2}{3})^2+(-\frac{2}{3})^2}=\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{4}{9}+\frac{4}{9}}=\sqrt{1}=1$。