题目
求下列极限并说明理由: (1)lim _(xarrow infty )dfrac (2x+1)(x); (2)lim _(xarrow infty )dfrac (2x+1)(x).
求下列极限并说明理由:
(1)
;
(2)
.
题目解答
答案
解 (1)因为
, 而当x→∞ 时
是无穷小, 所以
.
(2)因为
(x≠1), 而当x→0时x为无穷小, 所以
.
解析
步骤 1：化简表达式
对于(1)，我们首先化简表达式$\dfrac {2x+1}{x}$，得到$2+\dfrac {1}{x}$。
步骤 2：分析无穷小
当$x\rightarrow \infty$时，$\dfrac {1}{x}$是一个无穷小量，即$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {1}{x}=0$。
步骤 3：求极限
因此，$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2x+1}{x}=\lim _{x\rightarrow \infty }(2+\dfrac {1}{x})=2$。
步骤 4：化简表达式
对于(2)，我们首先化简表达式$\dfrac {1-{x}^{2}}{1-x}$，得到$1+x$，其中$x\neq 1$。
步骤 5：求极限
因此，$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1-{x}^{2}}{1-x}=\lim _{x\rightarrow 0}(1+x)=1$。
对于(1)，我们首先化简表达式$\dfrac {2x+1}{x}$，得到$2+\dfrac {1}{x}$。
步骤 2：分析无穷小
当$x\rightarrow \infty$时，$\dfrac {1}{x}$是一个无穷小量，即$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {1}{x}=0$。
步骤 3：求极限
因此，$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2x+1}{x}=\lim _{x\rightarrow \infty }(2+\dfrac {1}{x})=2$。
步骤 4：化简表达式
对于(2)，我们首先化简表达式$\dfrac {1-{x}^{2}}{1-x}$，得到$1+x$，其中$x\neq 1$。
步骤 5：求极限
因此，$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1-{x}^{2}}{1-x}=\lim _{x\rightarrow 0}(1+x)=1$。