题目
19. 已知等差数列(an)的前n项和为Sn,公差 =0, 且 _(3)+(S)_(5)=50, a1,-|||-a4,a13成等比数列.(1)求数列(an)的通项公式;-|||-(2)设 dfrac ([ {b)^n] }({a)_(n)}= 是首项为1,公比为3的等比数列,求数列(bn)的前n项和Tn-
题目解答
答案
解析
步骤 1：利用等差数列的前n项和公式和等比数列的性质建立方程组
根据等差数列的前n项和公式 ${S}_{n} = n{a}_{1} + \frac{n(n-1)}{2}d$，可以得到 ${S}_{3} = 3{a}_{1} + 3d$ 和 ${S}_{5} = 5{a}_{1} + 10d$。根据题目条件 ${S}_{3} + {S}_{5} = 50$，可以得到 $3{a}_{1} + 3d + 5{a}_{1} + 10d = 50$，即 $8{a}_{1} + 13d = 50$。
由于a1, a4, a13成等比数列，根据等比数列的性质，可以得到 ${a}_{4}^{2} = {a}_{1}{a}_{13}$，即 $({a}_{1} + 3d)^{2} = {a}_{1}({a}_{1} + 12d)$。
步骤 2：解方程组求出a1和d
联立上述两个方程，解得 $\left \{ \begin{matrix} {a}_{1}=3\\ d=2,\end{matrix} \right.$
步骤 3：求出数列{an}的通项公式
根据等差数列的通项公式 ${a}_{n} = {a}_{1} + (n-1)d$，代入 ${a}_{1} = 3$ 和 $d = 2$，得到 ${a}_{n} = 2n + 1$。
步骤 4：求出数列{bn}的前n项和Tn
根据题目条件，$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}} = {3}^{n-1}$，所以 ${b}_{n} = {a}_{n} \cdot {3}^{n-1} = (2n+1) \cdot {3}^{n-1}$。利用错位相减法求和，得到 ${T}_{n} = n \times {3}^{n}$。
根据等差数列的前n项和公式 ${S}_{n} = n{a}_{1} + \frac{n(n-1)}{2}d$，可以得到 ${S}_{3} = 3{a}_{1} + 3d$ 和 ${S}_{5} = 5{a}_{1} + 10d$。根据题目条件 ${S}_{3} + {S}_{5} = 50$，可以得到 $3{a}_{1} + 3d + 5{a}_{1} + 10d = 50$，即 $8{a}_{1} + 13d = 50$。
由于a1, a4, a13成等比数列，根据等比数列的性质，可以得到 ${a}_{4}^{2} = {a}_{1}{a}_{13}$，即 $({a}_{1} + 3d)^{2} = {a}_{1}({a}_{1} + 12d)$。
步骤 2：解方程组求出a1和d
联立上述两个方程，解得 $\left \{ \begin{matrix} {a}_{1}=3\\ d=2,\end{matrix} \right.$
步骤 3：求出数列{an}的通项公式
根据等差数列的通项公式 ${a}_{n} = {a}_{1} + (n-1)d$，代入 ${a}_{1} = 3$ 和 $d = 2$，得到 ${a}_{n} = 2n + 1$。
步骤 4：求出数列{bn}的前n项和Tn
根据题目条件，$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}} = {3}^{n-1}$，所以 ${b}_{n} = {a}_{n} \cdot {3}^{n-1} = (2n+1) \cdot {3}^{n-1}$。利用错位相减法求和，得到 ${T}_{n} = n \times {3}^{n}$。