题目
在一半径R,电量q1的均匀带电圆环L1的几何轴上放一长2L,电量q2的均匀带电L1,如图15-7所示,细圆环中心O与直线近端的距离a,试求带电圆环对带电L1的电势能。L1
在一半径R,电量q1的均匀带电圆环
的几何轴上放一长2L,电量q2的均匀带电
,如图15-7所示,细圆环中心O与直线近端的距离a,试求带电圆环对带电的电势能。
题目解答
答案
计算电势：
对于带电圆环，我们可以计算其在直线电荷上每个小段的电势，然后对直线电荷进行积分。电势的计算公式是：
其中 ( dq ) 是圆环上的一个小电荷，
是待计算电势的位置（在直线电荷上的点），而
是圆环上电荷的位置。
圆环上电荷的电势贡献：
设圆环上的电荷元素为 ( dq )，它产生的电势 ( dV ) 在直线电荷上某一点 ( P ) 的距离为 ( r )（即直线电荷上到圆环的距离）。
电势贡献为：
由于圆环的对称性，所有电荷元素到直线电荷上某点的距离是相同的。所以，整个圆环对直线电荷上某点的电势 ( V ) 为：
其中
是圆环上的总电量， ( r ) 是从圆环到直线电荷上任意一点的距离。
计算电势：
圆环到直线电荷上的每一点的距离 ( r ) 是常量，可以通过几何关系得到：
因此，圆环在直线电荷上每一点的电势为：
计算电势能：
直线电荷在电势 ( V ) 中的电势能为：
因为电势 ( V ) 对于直线电荷的每一点都是相同的，所以：
直线电荷的总长度为 ( 2L )，所以：
结果
带电圆环对带电直线电荷的电势能 ( U ) 是：
解析
步骤 1：计算圆环在直线电荷上某点的电势
对于带电圆环，我们可以计算其在直线电荷上每个小段的电势，然后对直线电荷进行积分。电势的计算公式是：
$[ V(r)=\dfrac {1}{4\pi {e}_{0}}] \dfrac {dq}{|r-{r}^{2}|}] $
其中 ( dq ) 是圆环上的一个小电荷，(r)是待计算电势的位置（在直线电荷上的点），而(r')是圆环上电荷的位置。
圆环上电荷的电势贡献：
设圆环上的电荷元素为 ( dq )，它产生的电势 ( dV ) 在直线电荷上某一点 ( P ) 的距离为 ( r )（即直线电荷上到圆环的距离）。
电势贡献为：
$[ dV=\dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\dfrac {dq}{r}] $
由于圆环的对称性，所有电荷元素到直线电荷上某点的距离是相同的。所以，整个圆环对直线电荷上某点的电势 ( V ) 为：
$[ V=\dfrac {1}{4\pi {t}_{0}}\dfrac {Q}{r}] $
其中$(15=0)$是圆环上的总电量， ( r ) 是从圆环到直线电荷上任意一点的距离。
步骤 2：计算圆环到直线电荷上每一点的距离
圆环到直线电荷上的每一点的距离 ( r ) 是常量，可以通过几何关系得到：
$[ r=\sqrt {{R}^{2}+{a}^{2}}] $
因此，圆环在直线电荷上每一点的电势为：
$[ V=\dfrac {1}{4\pi {t}_{0}}\dfrac {q}{\sqrt {{R}^{2}+{a}^{2}}}] $
步骤 3：计算电势能
直线电荷在电势 ( V ) 中的电势能为：
[U=q2 L Vdz] L
因为电势 ( V ) 对于直线电荷的每一点都是相同的，所以：
$U={q}_{2}\cdot \dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\dfrac {q1}{\sqrt {{R}^{2}+{a}^{2}}}$ .长度]
直线电荷的总长度为 ( 2L )，所以：
$[ U={q}_{2}\cdot \dfrac {1}{4\pi {e}_{0}}\dfrac {q1}{\sqrt {{R}^{2}+{a}^{2}}}\cdot 2I] $
对于带电圆环，我们可以计算其在直线电荷上每个小段的电势，然后对直线电荷进行积分。电势的计算公式是：
$[ V(r)=\dfrac {1}{4\pi {e}_{0}}] \dfrac {dq}{|r-{r}^{2}|}] $
其中 ( dq ) 是圆环上的一个小电荷，(r)是待计算电势的位置（在直线电荷上的点），而(r')是圆环上电荷的位置。
圆环上电荷的电势贡献：
设圆环上的电荷元素为 ( dq )，它产生的电势 ( dV ) 在直线电荷上某一点 ( P ) 的距离为 ( r )（即直线电荷上到圆环的距离）。
电势贡献为：
$[ dV=\dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\dfrac {dq}{r}] $
由于圆环的对称性，所有电荷元素到直线电荷上某点的距离是相同的。所以，整个圆环对直线电荷上某点的电势 ( V ) 为：
$[ V=\dfrac {1}{4\pi {t}_{0}}\dfrac {Q}{r}] $
其中$(15=0)$是圆环上的总电量， ( r ) 是从圆环到直线电荷上任意一点的距离。
步骤 2：计算圆环到直线电荷上每一点的距离
圆环到直线电荷上的每一点的距离 ( r ) 是常量，可以通过几何关系得到：
$[ r=\sqrt {{R}^{2}+{a}^{2}}] $
因此，圆环在直线电荷上每一点的电势为：
$[ V=\dfrac {1}{4\pi {t}_{0}}\dfrac {q}{\sqrt {{R}^{2}+{a}^{2}}}] $
步骤 3：计算电势能
直线电荷在电势 ( V ) 中的电势能为：
[U=q2 L Vdz] L
因为电势 ( V ) 对于直线电荷的每一点都是相同的，所以：
$U={q}_{2}\cdot \dfrac {1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\dfrac {q1}{\sqrt {{R}^{2}+{a}^{2}}}$ .长度]
直线电荷的总长度为 ( 2L )，所以：
$[ U={q}_{2}\cdot \dfrac {1}{4\pi {e}_{0}}\dfrac {q1}{\sqrt {{R}^{2}+{a}^{2}}}\cdot 2I] $