【2019数一/二/三】当x→0时，若x-tanx与x^k是同阶无穷小，则k=（）A. 1B. 2C. 3D. 4

本题考查同阶无穷小的概念以及泰勒公式的应用。解题思路是先利用泰勒公式将$\tan x$展开，然后求出$x - \tan x$的表达式，再根据同阶无穷小的定义确定$k$的值。

步骤一：利用泰勒公式展开$\tan x$

根据泰勒公式，$\tan x$在$x = 0$处的展开式为：
$\tan x=x+\frac{1}{3}x^{3}+o(x^{3})$
其中$o(x^{3})$表示$x^{3}$的高阶无穷小。

步骤二：计算$x - \tan x$

将$\tan x=x+\frac{1}{3}x^{3}+o(x^{3})$代入$x - \tan x$可得：
$x - \tan x=x-(x+\frac{1}{3}x^{3}+o(x^{3}))$
去括号得：
$x - \tan x=x - x - \frac{1}{3}x^{3}-o(x^{3})=-\frac{1}{3}x^{3}-o(x^{3})$

步骤三：根据同阶无穷小的定义确定$k$的值

若$\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = C$（$C$为非零常数），则称当$x \to 0$时，$f(x)$与$g(x)$是同阶无穷小。
已知当$x \to 0$时，$x - \tan x$与$x^{k}$是同阶无穷小，则$\lim\limits_{x \to 0}\frac{x - \tan x}{x^{k}}$为非零常数。
将$x - \tan x=-\frac{1}{3}x^{3}-o(x^{3})$代入$\lim\limits_{x \to 0}\frac{x - \tan x}{x^{k}}$可得：
$\lim\limits_{x \to 0}\frac{-\frac{1}{3}x^{3}-o(x^{3})}{x^{k}}$
要使该极限为非零常数，则分子分母的最高次幂应该相同，即$k = 3$。
此时$\lim\limits_{x \to 0}\frac{-\frac{1}{3}x^{3}-o(x^{3})}{x^{3}}=\lim\limits_{x \to 0}(-\frac{1}{3}-\frac{o(x^{3})}{x^{3}})=-\frac{1}{3}$，为非零常数。