题目
已知函数 f(x)= ),xneq 0 a,x=0 . 在 x=0 处连续,则 a=_____
_____
题目解答
答案
e
解析
步骤 1：确定函数在 x=0 处的连续性条件
函数 f(x) 在 x=0 处连续，意味着当 x 趋近于 0 时，函数的极限值等于函数在 x=0 处的值。即：
$$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$$
步骤 2：计算函数在 x=0 处的极限值
根据函数定义，当 x 不等于 0 时，函数为 $(1+x)^{\frac{1}{x}}$。我们需要计算当 x 趋近于 0 时，$(1+x)^{\frac{1}{x}}$ 的极限值。这是一个经典的极限问题，其结果为 e（自然对数的底数）。
$$\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$$
步骤 3：确定函数在 x=0 处的值
根据函数定义，当 x=0 时，函数的值为 a。因此，为了使函数在 x=0 处连续，a 必须等于函数在 x=0 处的极限值，即 a=e。
函数 f(x) 在 x=0 处连续，意味着当 x 趋近于 0 时，函数的极限值等于函数在 x=0 处的值。即：
$$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$$
步骤 2：计算函数在 x=0 处的极限值
根据函数定义，当 x 不等于 0 时，函数为 $(1+x)^{\frac{1}{x}}$。我们需要计算当 x 趋近于 0 时，$(1+x)^{\frac{1}{x}}$ 的极限值。这是一个经典的极限问题，其结果为 e（自然对数的底数）。
$$\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$$
步骤 3：确定函数在 x=0 处的值
根据函数定义，当 x=0 时，函数的值为 a。因此，为了使函数在 x=0 处连续，a 必须等于函数在 x=0 处的极限值，即 a=e。