矩阵 A = } 2 & -1 & -1 & 1 & 2 1 & 1 & -2 & 1 & 4 4 & -6 & 2 & -2 & 4 3 & 6 & -9 & 7 & 9 ，用列向量组可表示为 A = (a_1, a_2, a_3, a_4, a_5) ，则关于列向量组的秩和极大无关组，下列说法正确的是()。A. 秩为 3，极大无关组为 a_1, a_2, a_4 B. 秩为 3，极大无关组为 a_1, a_2, a_3 C. 秩为 2，极大无关组为 a_1, a_2 D. 秩为 2，极大无关组为 a_3, a_4

本题考查矩阵列向量组的秩和极大无关组的求解。解题思路是通过对矩阵进行初等行变换化为行阶梯形矩阵，根据行阶梯形矩阵非零行的行数确定矩阵的秩，也就是列向量组的秩，再根据行阶梯形矩阵中主元所在的列确定极大无关组。

步骤一：对矩阵$A$进行初等行变换化为行阶梯形矩阵

已知矩阵$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ 4 & -6 & 2 & -2 & 4 \\ 3 & 6 & -9 & 7 & 9 \end{pmatrix}$。

• 交换第一行和第二行，得到$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ 2 & -1 & -1 & 1 & 2 \\ 4 & -6 & 2 & -2 & 4 \\ 3 & 6 & -9 & 7 & 9 \end{pmatrix}$。
• 第二行减去第一行的$2$倍，第三行减去第一行的$4$倍，第四行减去第一行的$3$倍，得到$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & -3 & 3 & -1 & -6 \\ 0 & -10 & 10 & -6 & -12 \\ 0 & 3 & -3 & 4 & -3 \end{pmatrix}$。
• 第三行减去第二行的$\frac{10}{3}$倍，第四行加上第二行，得到$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & -3 & 3 & -1 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{8}{3} & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & -9 \end{pmatrix}$。
• 第四行加上第三行的$\frac{9}{8}$倍，得到$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ 0 & -3 & 3 & -1 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{8}{3} & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。

步骤二：确定矩阵$A$的秩

行阶梯形矩阵中非零行的行数为$3$，所以矩阵$A$的秩$r(A)=3$，即列向量组的秩为$3$。

步骤三：确定极大无关组

行阶梯形矩阵中主元所在的列是第一列、第二列和第四列，所以原矩阵$A$的列向量组$a_1,a_2,a_4$是一个极大无关组。