求函数 =ln (x+sqrt (1+{x)^2}) 的反函数.

考查要点：本题主要考查反函数的求法，涉及对数函数与指数函数的转换，以及代数方程的变形技巧。

解题核心思路：

1. 将原函数表达式中的对数消去，通过取指数得到关于$x$的方程。
2. 构造辅助方程：通过对原方程取倒数并有理化，得到另一个关于$x$的方程。
3. 联立方程消元，解出$x$关于$y$的表达式，最终交换$x$和$y$得到反函数。

破题关键点：

• 取指数消去对数是基础操作。
• 有理化分母得到第二个方程，是简化问题的核心步骤。
• 联立方程相减可巧妙消去根号项，直接解出$x$。

步骤1：消去对数
原函数为 $y = \ln(x + \sqrt{1 + x^2})$，两边取指数得：
$e^y = x + \sqrt{1 + x^2} \quad \text{(1)}$

步骤2：构造辅助方程
对等式(1)取倒数并有理化分母：
$e^{-y} = \frac{1}{x + \sqrt{1 + x^2}} = -x + \sqrt{1 + x^2} \quad \text{(2)}$

步骤3：联立方程消元
将等式(1)和(2)相减：
$\begin{aligned}e^y - e^{-y} &= (x + \sqrt{1 + x^2}) - (-x + \sqrt{1 + x^2}) \\&= 2x\end{aligned}$
解得：
$x = \frac{1}{2}(e^y - e^{-y})$

步骤4：确定反函数
交换$x$和$y$，得到反函数：
$y = \frac{1}{2}(e^x - e^{-x})$