题目

11 当x→1时，函数(2)/(e^frac(x){x-1)-1}-(tan(x-1))/(|x-1|)的极限（） (A.)等于-1. (B.)等于1. (C.)为∞. (D.)不存在但不为∞.

11 当x→1时，函数$\frac{2}{e^{\frac{x}{x-1}}-1}-\frac{\tan(x-1)}{|x-1|}$的极限（） (
A.)等于-1. (
B.)等于1. (
C.)为∞. (
D.)不存在但不为∞.

题目解答

答案

为了求解当 $ x \to 1 $ 时，函数 $ \frac{2}{e^{\frac{x}{x-1}}-1}-\frac{\tan(x-1)}{|x-1|} $ 的极限，我们需要分别分析函数在 $ x \to 1^+ $ 和 $ x \to 1^- $ 时的极限情况。 ### 步骤1：分析 $ x \to 1^+ $ 时的极限 当 $ x \to 1^+ $ 时， $ x - 1 > 0 $，所以 $ |x-1| = x-1 $。函数变为： \[ \frac{2}{e^{\frac{x}{x-1}}-1} - \frac{\tan(x-1)}{x-1} \] #### 处理第一项 $ \frac{2}{e^{\frac{x}{x-1}}-1} $ 令 $ u = \frac{x}{x-1} $。当 $ x \to 1^+ $ 时， $ u \to +\infty $。因此，第一项变为： \[ \frac{2}{e^u - 1} \] 当 $ u \to +\infty $ 时， $ e^u \to +\infty $，所以 $ e^u - 1 \to +\infty $。因此： \[ \frac{2}{e^u - 1} \to 0 \] #### 处理第二项 $ \frac{\tan(x-1)}{x-1} $ 当 $ x \to 1^+ $ 时， $ x-1 \to 0^+ $。利用 $ \tan(x-1) \sim x-1 $（当 $ x-1 \to 0 $ 时），我们有： \[ \frac{\tan(x-1)}{x-1} \to \frac{x-1}{x-1} = 1 \] #### 合并两项 所以，当 $ x \to 1^+ $ 时，函数的极限为： \[ \frac{2}{e^{\frac{x}{x-1}}-1} - \frac{\tan(x-1)}{x-1} \to 0 - 1 = -1 \] ### 步骤2：分析 $ x \to 1^- $ 时的极限 当 $ x \to 1^- $ 时， $ x - 1 < 0 $，所以 $ |x-1| = -(x-1) $。函数变为： \[ \frac{2}{e^{\frac{x}{x-1}}-1} - \frac{\tan(x-1)}{-(x-1)} = \frac{2}{e^{\frac{x}{x-1}}-1} + \frac{\tan(x-1)}{x-1} \] #### 处理第一项 $ \frac{2}{e^{\frac{x}{x-1}}-1} $ 令 $ u = \frac{x}{x-1} $。当 $ x \to 1^- $ 时， $ u \to -\infty $。因此，第一项变为： \[ \frac{2}{e^u - 1} \] 当 $ u \to -\infty $ 时， $ e^u \to 0 $，所以 $ e^u - 1 \to -1 $。因此： \[ \frac{2}{e^u - 1} \to \frac{2}{-1} = -2 \] #### 处理第二项 $ \frac{\tan(x-1)}{x-1} $ 当 $ x \to 1^- $ 时， $ x-1 \to 0^- $。利用 $ \tan(x-1) \sim x-1 $（当 $ x-1 \to 0 $ 时），我们有： \[ \frac{\tan(x-1)}{x-1} \to \frac{x-1}{x-1} = 1 \] #### 合并两项 所以，当 $ x \to 1^- $ 时，函数的极限为： \[ \frac{2}{e^{\frac{x}{x-1}}-1} + \frac{\tan(x-1)}{x-1} \to -2 + 1 = -1 \] ### 结论 由于当 $ x \to 1^+ $ 和 $ x \to 1^- $ 时，函数的极限都是 $-1$，因此当 $ x \to 1 $ 时，函数的极限是 $-1$。 答案是：$\boxed{A}$

解析

考查要点：本题主要考查分段函数在不同趋近方向下的极限计算，涉及指数函数、三角函数的极限性质，以及绝对值对函数表达式的影响。

解题核心思路：

  1. 分左右极限分析：由于绝对值符号的存在，需分别计算$x \to 1^+$和$x \to 1^-$时的极限。
  2. 化简表达式：通过变量代换或等价无穷小替换，简化复杂项。
  3. 判断极限存在性：若左右极限相等，则极限存在；否则不存在。

破题关键点：

  • 第一项处理：当$x \to 1$时，$\frac{x}{x-1}$的符号决定$e^{\frac{x}{x-1}}$的趋近方向，进而影响分母的值。
  • 第二项处理：利用$\tan t \sim t$（当$t \to 0$时）简化分式。

当$x \to 1^+$时：

  1. 化简表达式：
    $|x-1| = x-1$，原式变为：
    $\frac{2}{e^{\frac{x}{x-1}} - 1} - \frac{\tan(x-1)}{x-1}$
  2. 分析第一项：
    令$u = \frac{x}{x-1}$，当$x \to 1^+$时，$u \to +\infty$，故$e^u \to +\infty$，因此：
    $\frac{2}{e^u - 1} \to 0$
  3. 分析第二项：
    当$x \to 1^+$时，$\tan(x-1) \sim x-1$，故：
    $\frac{\tan(x-1)}{x-1} \to 1$
  4. 合并结果：
    $0 - 1 = -1$

当$x \to 1^-$时：

  1. 化简表达式：
    $|x-1| = -(x-1)$，原式变为：
    $\frac{2}{e^{\frac{x}{x-1}} - 1} + \frac{\tan(x-1)}{x-1}$
  2. 分析第一项：
    令$u = \frac{x}{x-1}$，当$x \to 1^-$时，$u \to -\infty$，故$e^u \to 0$，因此：
    $\frac{2}{e^u - 1} \to \frac{2}{-1} = -2$
  3. 分析第二项：
    当$x \to 1^-$时，$\tan(x-1) \sim x-1$，故：
    $\frac{\tan(x-1)}{x-1} \to 1$
  4. 合并结果：
    $-2 + 1 = -1$

结论：左右极限均为$-1$，故原函数的极限为$-1$。