4.若圆x^2+(y+2)^2=r^2(r>0)上到直线y=sqrt(3)x+2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是A. (0,1)B. (1,3)C. (3，+∞)D. (0，+∞)

考查要点：本题主要考查圆与直线的位置关系，以及点到直线的距离公式的应用。关键在于理解题目中“圆上到直线距离为1的点有且仅有2个”的几何意义。

解题核心思路：

1. 计算圆心到直线的距离，确定圆与直线的相对位置。
2. 构造两条与原直线平行且距离为1的直线，分析圆与这两条平行线的交点数量。
3. 通过交点数量的条件，推导出半径$r$的取值范围。

破题关键点：

• 圆心到直线的距离为2，这是后续分析的基础。
• 两条平行线分别距离圆心1和3，圆与这两条线的交点情况决定了符合条件的点的数量。
• 当且仅当圆与其中一条平行线相交于两点，另一条无交点时，原题条件成立。

1. 计算圆心到直线的距离
   圆心为$(0, -2)$，直线方程为$y = \sqrt{3}x + 2$，即$\sqrt{3}x - y + 2 = 0$。
   根据点到直线的距离公式：
   $d = \frac{|\sqrt{3} \cdot 0 - (-2) + 2|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{2} = 2$

2. 构造两条平行线
   与原直线距离为1的两条平行线方程为：
   $\sqrt{3}x - y + 4 = 0 \quad \text{和} \quad \sqrt{3}x - y = 0$
   对应的距离圆心分别为：

   • 第一条线：$d_1 = 3$
   • 第二条线：$d_2 = 1$

3. 分析圆与平行线的交点数量

   • 当$r > 3$时：圆与第一条线相交于两点，与第二条线也相交于两点，总共有4个点，不符合条件。
   • 当$1 < r < 3$时：圆与第一条线无交点，与第二条线相交于两点，总共有2个点，符合条件。
   • 当$r = 1$或$r = 3$时：圆与其中一条线相切（1个点），另一条线无交点或相交于两点，总点数为1或3，均不符合条件。