题目

若用复合梯形公式计算积分 I=int_(1)^2ln x dx，问区间 [1,2] 应分多少等份才能使截断误差不超过 (1)/(2)times10^-5？若改用复合辛普森公式，要达到同样精度区间 [1,2] 应分多少等份？

若用复合梯形公式计算积分 $I=\int_{1}^{2}\ln x dx$，问区间 $[1,2]$ 应分多少等份才能使截断误差不超过 $\frac{1}{2}\times10^{-5}$？若改用复合辛普森公式，要达到同样精度区间 $[1,2]$ 应分多少等份？

题目解答

答案

复合梯形公式
误差公式：$ R_T = -\frac{(b-a)^3}{12n^2} f''(\xi) $
对于 $ f(x) = \ln x $，$ f''(x) = -\frac{1}{x^2} $，最大值为 $-1$（在 $ x=1 $）。
要求 $ |R_T| \leq \frac{1}{2} \times 10^{-5} $，解得 $ n \geq 129.1 $，取 $ n = 130 $。

复合辛普森公式
误差公式：$ R_S = -\frac{(b-a)^5}{2880n^4} f^{(4)}(\xi) $
对于 $ f(x) = \ln x $，$ f^{(4)}(x) = -\frac{6}{x^4} $，最大值为 $-6$（在 $ x=1 $）。
要求 $ |R_S| \leq \frac{1}{2} \times 10^{-5} $，解得 $ n \geq 4.52 $，取偶数 $ n = 6 $。

答案：
复合梯形公式：130等份
复合辛普森公式：6等份

$\boxed{\begin{array}{cc}\text{复合梯形公式：} & 130 \text{等份} \\\text{复合辛普森公式：} & 6 \text{等份} \\\end{array}}$

解析

本题主要考查复合梯形公式和复合辛普森公式的截断误差估计，解题的关键在于根据给定的误差要求，结合被积函数的高阶导数性质，通过误差公式求解出区间等份数。

复合梯形公式

  1. 确定误差公式：
    复合梯形公式的截断误差公式为$R_T = -\frac{(b - a)^3}{12n^2} f''(\xi)$，其中$a = 1$，$b = 2$，$n$为区间$[1, 2]$的等份数，$\xi\in[1, 2]$。
  2. 求被积函数的二阶导数：
    已知被积函数$f(x) = \ln x$，对其求一阶导数$f^\prime(x)=\frac{1}{x}$，再求二阶导数$f''(x)=-\frac{1}{x^2}$。
  3. 确定二阶导数的最大值：
    因为$f''(x)=-\frac{1}{x^2}$在区间$[1, 2]$上单调递增，所以$f''(x)$在$x = 1$处取得最大值$f''(1)=-1$。
  4. 根据误差要求求解$n$：
    要求$|R_T| \leq \frac{1}{2} \times 10^{-5}$，即$\left|-\frac{(2 - 1)^3}{12n^2} f''(\xi)\right| \leq \frac{1}{2} \times 10^{-5}$。
    由于$|f''(\xi)| \leq |f''(1)| = 1$，则$\frac{1}{12n^2} \leq \frac{1}{2} \times 10^{-5}$。
    解这个不等式：
    $\begin{align*}\frac{1}{12n^2} &\leq \frac{1}{2} \times 10^{-5}\\12n^2 &\geq 2\times 10^{5}\\n^2 &\geq \frac{2\times 10^{5}}{12}\\n^2 &\geq \frac{5\times 10^{4}}{3}\\n &\geq \sqrt{\frac{5\times 10^{4}}{3}}\\n &\geq \frac{100\sqrt{15}}{3}\\n &\geq 129.1\end{align*}$
    因为$n$为等份数，必须为整数，所以取$n = 130$。

复合辛普森公式

  1. 确定误差公式：
    复合辛普森公式的截断误差公式为$R_S = -\frac{(b - a)^5}{2880n^4} f^{(4)}(\xi)$，其中$a = 1$，$b = 2$，$n$为区间$[1, 2]$的等份数，$\xi\in[1, 2]$。
  2. 求被积函数的四阶导数：
    已知$f(x) = \ln x$，$f^\prime(x)=\frac{1}{x}$，$f''(x)=-\frac{1}{x^2}$，$f^{(3)}(x)=\frac{2}{x^3}$，再求四阶导数$f^{(4)}(x)=-\frac{6}{x^4}$。
  3. 确定四阶导数的最大值：
    因为$f^{(4)}(x)=-\frac{6}{x^4}$在区间$[1, 2]$上单调递增，所以$f^{(4)}(x)$在$x = 1$处取得最大值$f^{(4)}(1)=-6$。
  4. 根据误差要求求解$n$：
    要求$|R_S| \leq \frac{1}{2} \times 10^{-5}$，即$\left|-\frac{(2 - 1)^5}{2880n^4} f^{(4)}(\xi)\right| \leq \frac{1}{2} \times 10^{-5}$。
    由于$|f^{(4)}(\xi)| \leq |f^{(4)}(1)| = 6$，则$\frac{6}{2880n^4} \leq \frac{1}{2} \times 10^{-5}$。
    解这个不等式：
    $\begin{align*}\frac{6}{2880n^4} &\leq \frac{1}{2} \times 10^{-5}\\2880n^4 &\geq 6\times 2\times 10^{5}\\n^4 &\geq \frac{12\times 10^{5}}{2880}\\n^4 &\geq \frac{10^{5}}{240}\\n &\geq \sqrt[4]{\frac{10^{5}}{240}}\\n &\geq 4.52\end{align*}$
    因为复合辛普森公式要求$n$为偶数，所以取$n = 6$。