题目

lim _(x arrow 0)(1-sin 2x)^(1)/(x)=______.

$\lim _{x \rightarrow 0}(1-\sin 2x)^{\frac{1}{x}}=\_\_\_\_\_\_.$

题目解答

答案

我们要求极限：

$\lim_{x \to 0} (1 - \sin 2x)^{\frac{1}{x}}$

第一步：分析极限形式

当 $ x \to 0 $ 时：

  • $ \sin 2x \to 0 $，所以 $ 1 - \sin 2x \to 1 $
  • 指数部分 $ \frac{1}{x} \to \infty $

因此，这个极限是 $ 1^\infty $ 型的不定型，这类极限通常可以通过取对数，结合重要极限或等价无穷小来处理。

第二步：取对数转化为指数形式

令：
$y = (1 - \sin 2x)^{\frac{1}{x}}$

对两边取自然对数：
$\ln y = \frac{1}{x} \ln(1 - \sin 2x)$

我们先求：
$\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 - \sin 2x)}{x}$

第三步：使用等价无穷小和泰勒展开

当 $ x \to 0 $ 时：

  • $ \sin 2x \sim 2x $（因为 $ \sin u \sim u $ 当 $ u \to 0 $）
  • 所以 $ \sin 2x \approx 2x $
  • 又因为 $ \ln(1 - u) \sim -u $ 当 $ u \to 0 $，所以：
    $\ln(1 - \sin 2x) \sim -\sin 2x \sim -2x$

代入极限：
$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 - \sin 2x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin 2x + o(\sin 2x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{-2x + o(x)}{x} = -2$

所以：
$\lim_{x \to 0} \ln y = -2$

因此：
$\lim_{x \to 0} y = e^{-2}$

最终答案：

$\boxed{e^{-2}}$

解析

考查要点：本题主要考查1的∞次型极限的求解方法，涉及等价无穷小替换和自然对数的转换技巧。

解题核心思路：
当遇到形如$(1 + f(x))^{g(x)}$且$f(x) \to 0$、$g(x) \to \infty$的极限时，通常通过以下步骤处理：

  1. 取自然对数，将指数形式转化为乘法；
  2. 利用等价无穷小或泰勒展开简化表达式；
  3. 计算对数后的极限，最后通过指数函数还原结果。

破题关键点：

  • 识别极限类型为$1^\infty$型；
  • 正确应用$\sin u \sim u$和$\ln(1 - u) \sim -u$的等价无穷小替换；
  • 注意运算过程中忽略高阶无穷小项。

步骤1：取自然对数
令$y = (1 - \sin 2x)^{\frac{1}{x}}$，两边取自然对数得：
$\ln y = \frac{1}{x} \ln(1 - \sin 2x)$

步骤2：计算对数后的极限
求$\lim_{x \to 0} \ln y$：
$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 - \sin 2x)}{x}$

步骤3：应用等价无穷小替换
当$x \to 0$时：

  • $\sin 2x \sim 2x$
  • $\ln(1 - \sin 2x) \sim -\sin 2x \sim -2x$

代入极限得：
$\lim_{x \to 0} \frac{-2x}{x} = -2$

步骤4：还原指数形式
因此，原极限为：
$\lim_{x \to 0} y = e^{-2}$