[0,1]上的全体有理系数多项式在连续函数空间C[0,1]中是稠密的.A. 正确B. 错误

考查要点：本题主要考查对Stone-Weierstrass定理的理解，以及有理系数多项式在连续函数空间中的稠密性的判断。

解题核心思路：

1. 稠密性的定义：判断有理系数多项式是否能任意逼近连续函数空间中的任意元素。
2. Stone-Weierstrass定理的应用：实系数多项式在连续函数空间中稠密，而有理系数多项式通过系数逼近可覆盖实系数多项式的效果。
3. 有理数的稠密性：有理数在实数中稠密，因此有理系数多项式可逼近实系数多项式。

破题关键点：

• 有理系数多项式构成代数：满足Stone-Weierstrass定理的条件。
• 系数逼近的可行性：有理数可逼近实数，从而保证函数值的一致逼近。

关键步骤分析：

1. Stone-Weierstrass定理基础：
   Stone-Weierstrass定理指出，实系数多项式在紧区间（如$[0,1]$）上的连续函数空间$C[0,1]$中是稠密的。

2. 有理系数多项式的逼近能力：
   有理数$\mathbb{Q}$在实数$\mathbb{R}$中稠密，因此对于任意实系数多项式$f(x) = \sum a_i x^i$，可选取有理数序列$\{q_i\}$逼近$\{a_i\}$，构造有理系数多项式$g(x) = \sum q_i x^i$。

3. 一致收敛性：
   在区间$[0,1]$上，若系数满足$|a_i - q_i| < \epsilon$，则对任意$x \in [0,1]$，有
   $|f(x) - g(x)| \leq \sum |a_i - q_i| \cdot |x|^i \leq \sum |a_i - q_i|.$
   由于$\sum |a_i - q_i|$可任意小，故$g(x)$可逼近$f(x)$到任意精度。

4. 结论：
   有理系数多项式通过逼近实系数多项式，间接实现对$C[0,1]$中任意连续函数的逼近，因此是稠密的。