证明：lim _(narrow infty )(dfrac (1)({n)^2+n+1}+dfrac (2)({n)^2+n+2}+... +dfrac (n)({n)^2+n+n})=dfrac (1)(2)

考查要点：本题主要考查数列极限的夹逼准则（海涅定理）的应用，以及对和式进行放缩的能力。

解题核心思路：

1. 构造上下界：将和式中的每一项分母进行放大和缩小，得到两个更简单的和式作为原和式的上下界。
2. 计算上下界极限：分别求出上下界的极限值，若两者相等，则原和式的极限也为该值。

破题关键点：

• 分母的放缩：对分母 $n^2 + n + k$，当 $k$ 从 $1$ 到 $n$ 时，最小值为 $n^2 + n + 1$，最大值为 $n^2 + 2n$。
• 和式的简化：利用等差数列求和公式 $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$，将和式转化为分式形式。
• 极限计算：通过分子分母同除以 $n^2$，化简后取极限。

构造上下界

1. 下界构造：
   分母取最大值 $n^2 + 2n$，此时每一项 $\frac{k}{n^2 + n + k} \geq \frac{k}{n^2 + 2n}$，因此：
   $\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2 + n + k} \geq \frac{1 + 2 + \cdots + n}{n^2 + 2n} = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2 + 2n}$

2. 上界构造：
   分母取最小值 $n^2 + n + 1$，此时每一项 $\frac{k}{n^2 + n + k} \leq \frac{k}{n^2 + n + 1}$，因此：
   $\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2 + n + k} \leq \frac{1 + 2 + \cdots + n}{n^2 + n + 1} = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2 + n + 1}$

计算上下界极限

1. 下界极限：
   $\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2 + 2n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2/2 + n/2}{n^2 + 2n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1/2 + 1/(2n)}{1 + 2/n} = \frac{1}{2}$

2. 上界极限：
   $\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2 + n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2/2 + n/2}{n^2 + n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1/2 + 1/(2n)}{1 + 1/n + 1/n^2} = \frac{1}{2}$

应用夹逼准则

由于上下界的极限均为 $\frac{1}{2}$，根据夹逼准则，原和式的极限也为 $\frac{1}{2}$。