求向量组a_(1)=(1,3,-2,1)^T,a_(2)=(5,6,2,0)^T,a_(3)=(-2,3,1,-1)^T,a_(4)=(-5,3,-5,1)^T的秩和一个极大无关组，并把其余向量用这个极大无关组线性表出.

为了求向量组 $a_1 = (1, 3, -2, 1)^T$, $a_2 = (5, 6, 2, 0)^T$, $a_3 = (-2, 3, 1, -1)^T$, $a_4 = (-5, 3, -5, 1)^T$ 的秩和一个极大无关组，并把其余向量用这个极大无关组线性表出，我们可以按照以下步骤进行： 1. **形成矩阵**：将向量作为矩阵的列。 2. **进行初等行变换**：将矩阵化为行阶梯形或行最简形。 3. **确定秩和极大无关组**：秩是行阶梯形中非零行的个数，极大无关组对应于 pivot 列的向量。 4. **表示其余向量**：使用行最简形表示其余向量为极大无关组的线性组合。 ### 步骤1：形成矩阵 形成矩阵 $A$，其列向量为 $a_1, a_2, a_3, a_4$： \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 5 & -2 & -5 \\ 3 & 6 & 3 & 3 \\ -2 & 2 & 1 & -5 \\ 1 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \] ### 步骤2：进行初等行变换 对矩阵 $A$ 进行初等行变换，化为行最简形： \[ \begin{pmatrix} 1 & 5 & -2 & -5 \\ 3 & 6 & 3 & 3 \\ -2 & 2 & 1 & -5 \\ 1 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 5 & -2 & -5 \\ 0 & -9 & 9 & 18 \\ 0 & 12 & -3 & -15 \\ 0 & -5 & 1 & 6 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 5 & -2 & -5 \\ 0 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 12 & -3 & -15 \\ 0 & -5 & 1 & 6 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 5 & -2 & -5 \\ 0 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 9 & 9 \\ 0 & 0 & -4 & -4 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 5 & -2 & -5 \\ 0 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 5 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] ### 步骤3：确定秩和极大无关组 行最简形矩阵有3个非零行，所以向量组的秩为3。 pivot 列是第1, 2, 3列，因此极大无关组是 $a_1, a_2, a_3$。 ### 步骤4：表示其余向量 从行最简形矩阵中，我们可以表示 $a_4$ 为 $a_1, a_2, a_3$ 的线性组合： \[ a_4 = 2a_1 - a_2 + a_3 \] ### 最终答案 向量组的秩为 $\boxed{3}$，一个极大无关组为 $a_1, a_2, a_3$，且 $a_4 = 2a_1 - a_2 + a_3$。