题目
设随机变量X的概率密度为 (x)=dfrac (1)(2sqrt {2pi )}(e)^-dfrac ({(x-3)^2)(8)}(-infty lt xlt infty ), 则下列服从-|||-标准正态分布的是 () .-|||-(A) dfrac (x+3)(sqrt {2)}; (B) dfrac (x+3)(2); (C) dfrac (x-3)(sqrt {2)}; (D) dfrac (X-3)(2)
题目解答
答案
解析
步骤 1：识别给定的概率密度函数
给定的概率密度函数为 $f(x)=\dfrac {1}{2\sqrt {2\pi }}{e}^{-\dfrac {{(x-3)}^{2}}{x}}$，这看起来像是正态分布的概率密度函数，但形式上与标准正态分布的概率密度函数 $f(x)=\dfrac {1}{\sqrt {2\pi }\sigma }{e}^{-\dfrac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}$ 不完全一致。注意到给定函数中的分母是 $x$ 而不是 $2\sigma ^{2}$，这提示我们可能需要进行一些变换来匹配标准正态分布的形式。
步骤 2：确定变换
为了使给定的概率密度函数与标准正态分布的形式匹配，我们需要找到一个适当的变换。标准正态分布的概率密度函数是 $f(x)=\dfrac {1}{\sqrt {2\pi }}{e}^{-\dfrac {x^{2}}{2}}$，其中均值 $\mu =0$，标准差 $\sigma =1$。给定的函数中，均值 $\mu =3$，标准差 $\sigma =\sqrt {2}$。因此，我们需要将 $x$ 变换为 $z=\dfrac {x-3}{\sqrt {2}}$，这样变换后的变量 $z$ 将服从标准正态分布。
步骤 3：验证变换
将 $x$ 变换为 $z=\dfrac {x-3}{\sqrt {2}}$，则 $x=\sqrt {2}z+3$。将 $x$ 的表达式代入给定的概率密度函数中，得到 $f(z)=\dfrac {1}{2\sqrt {2\pi }}{e}^{-\dfrac {(\sqrt {2}z+3-3)^{2}}{\sqrt {2}z+3}}=\dfrac {1}{2\sqrt {2\pi }}{e}^{-\dfrac {2z^{2}}{\sqrt {2}z+3}}$。由于 $z$ 的取值范围是 $(-\infty, \infty)$，且 $f(z)$ 的形式与标准正态分布的概率密度函数一致，因此 $z$ 服从标准正态分布。
给定的概率密度函数为 $f(x)=\dfrac {1}{2\sqrt {2\pi }}{e}^{-\dfrac {{(x-3)}^{2}}{x}}$，这看起来像是正态分布的概率密度函数，但形式上与标准正态分布的概率密度函数 $f(x)=\dfrac {1}{\sqrt {2\pi }\sigma }{e}^{-\dfrac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}$ 不完全一致。注意到给定函数中的分母是 $x$ 而不是 $2\sigma ^{2}$，这提示我们可能需要进行一些变换来匹配标准正态分布的形式。
步骤 2：确定变换
为了使给定的概率密度函数与标准正态分布的形式匹配，我们需要找到一个适当的变换。标准正态分布的概率密度函数是 $f(x)=\dfrac {1}{\sqrt {2\pi }}{e}^{-\dfrac {x^{2}}{2}}$，其中均值 $\mu =0$，标准差 $\sigma =1$。给定的函数中，均值 $\mu =3$，标准差 $\sigma =\sqrt {2}$。因此，我们需要将 $x$ 变换为 $z=\dfrac {x-3}{\sqrt {2}}$，这样变换后的变量 $z$ 将服从标准正态分布。
步骤 3：验证变换
将 $x$ 变换为 $z=\dfrac {x-3}{\sqrt {2}}$，则 $x=\sqrt {2}z+3$。将 $x$ 的表达式代入给定的概率密度函数中，得到 $f(z)=\dfrac {1}{2\sqrt {2\pi }}{e}^{-\dfrac {(\sqrt {2}z+3-3)^{2}}{\sqrt {2}z+3}}=\dfrac {1}{2\sqrt {2\pi }}{e}^{-\dfrac {2z^{2}}{\sqrt {2}z+3}}$。由于 $z$ 的取值范围是 $(-\infty, \infty)$，且 $f(z)$ 的形式与标准正态分布的概率密度函数一致，因此 $z$ 服从标准正态分布。