题目
17.（10.0分）若n阶方阵A满足3A²+9A=(E+2A)²，证明A+E可逆，并求其逆矩阵。（10分）
17.（10.0分）若n阶方阵A满足3A²+9A=(E+2A)²，证明A+E可逆，并求其逆矩阵。（10分）
题目解答
答案
由已知等式 $3A^2 + 9A = (E + 2A)^2$，展开并整理得：
\[
3A^2 + 9A = E + 4A + 4A^2 \implies A^2 - 5A + E = 0.
\]
可重写为：
\[
(A + E)(A - 6E) = -7E.
\]
两边同乘以 $-\frac{1}{7}$ 得：
\[
(A + E)\left[-\frac{1}{7}(A - 6E)\right] = E.
\]
因此，$A + E$ 可逆，其逆矩阵为：
\[
\boxed{-\frac{1}{7}(A - 6E)} \quad \text{或} \quad \boxed{\frac{1}{7}(6E - A)}.
\]