求函数(x,y)=(4x-(x)^2)(2y-(y)^2)的极值.

考查要点：本题主要考查二元函数极值的求解方法，包括求偏导数、寻找临界点以及利用二阶导数检验法判断极值的存在性。

解题思路：

1. 展开函数：将原函数展开为多项式形式，便于后续求导。
2. 求偏导数：分别对$x$和$y$求一阶偏导数，并解方程组找到临界点。
3. 二阶导数检验：计算Hessian矩阵的行列式$D$，判断每个临界点是否为极值点。

关键点：

• 正确展开函数是基础，避免因展开错误导致后续步骤全盘错误。
• 解非线性方程组时需分情况讨论，确保不遗漏临界点。
• 二阶导数检验法的判定条件需准确应用，尤其注意行列式$D$的符号和$f_{xx}$的符号。

原函数展开：
$f(x,y) = (4x - x^2)(2y - y^2) = 8xy - 4xy^2 - 2x^2y + x^2y^2$

求一阶偏导数：

• 对$x$求偏导：
  $\frac{\partial f}{\partial x} = 8y - 4y^2 - 4xy + 2xy^2$
• 对$y$求偏导：
  $\frac{\partial f}{\partial y} = 8x - 8xy - 2x^2 + 2x^2y$

解方程组$\frac{\partial f}{\partial x}=0$和$\frac{\partial f}{\partial y}=0$：

1. 情况一：$y=0$且$x=0$，得临界点$(0,0)$。
2. 情况二：$y=0$且$x=4$，得临界点$(4,0)$。
3. 情况三：$x=0$且$y=2$，得临界点$(0,2)$。
4. 情况四：联立$y=\frac{x}{2}$与方程，解得$(4,2)$和$(2,1)$。

二阶导数检验：

• $(0,0)$、$(4,0)$、$(0,2)$、$(4,2)$：Hessian行列式$D<0$，均为鞍点。
• $(2,1)$：$D>0$且$f_{xx}<0$，为极大值点，极大值$f(2,1)=4$。