题目

8. 曲线y=x^3+ax^2+bx+1有拐点(-1,0)，则常数b=_____.

8. 曲线$y=x^{3}+ax^{2}+bx+1$有拐点(-1,0)，则常数b=_____.

题目解答

答案

已知曲线 $y = x^3 + ax^2 + bx + 1$ 在点 $(-1, 0)$ 处有拐点，需满足以下条件： 1. **二阶导数为零**： $y'' = 6x + 2a$，代入 $x = -1$ 得 $y''(-1) = -6 + 2a = 0$，解得 $a = 3$。 2. **点在曲线上**： 将 $x = -1$，$y = 0$，$a = 3$ 代入原方程得： $0 = (-1)^3 + 3(-1)^2 + b(-1) + 1$，化简得 $0 = -1 + 3 - b + 1$，解得 $b = 3$。 **答案**：$\boxed{3}$

解析

拐点是曲线凹凸性发生变化的点，其存在需满足两个条件：

  1. 二阶导数为零：拐点处的二阶导数必须等于零；
  2. 点在曲线上：拐点的坐标必须满足原函数方程。

本题中，已知拐点坐标为$(-1, 0)$，需先通过二阶导数求出$a$的值，再代入原方程求解$b$。

步骤1：求二阶导数并代入拐点横坐标

原函数为$y = x^3 + ax^2 + bx + 1$，求二阶导数：
$y'' = 6x + 2a$
拐点处二阶导数为零，代入$x = -1$：
$y''(-1) = 6(-1) + 2a = -6 + 2a = 0 \implies a = 3$

步骤2：代入拐点坐标求$b$

将拐点$(-1, 0)$和$a = 3$代入原方程：
$0 = (-1)^3 + 3(-1)^2 + b(-1) + 1$
展开计算：
$0 = -1 + 3 - b + 1 \implies 0 = 3 - b \implies b = 3$