题目
23.（1.0分）若函数f(x,y)在点(a,b)处沿x轴正方向和y轴正方向的方向导数都存在，则f在该点的两个偏导数f_(x)(a,b)和f_(y)(a,b)也都存在。A. 对B. 错
23.（1.0分）若函数f(x,y)在点(a,b)处沿x轴正方向和y轴正方向的方向导数都存在，则f在该点的两个偏导数$f_{x}(a,b)$和$f_{y}(a,b)$也都存在。
A. 对
B. 错
题目解答
答案
B. 错
解析
步骤 1：理解方向导数的定义
方向导数表示函数在特定方向上的变化率。对于点 $(a, b)$，沿 $x$ 轴正方向的方向导数为 $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h, b) - f(a, b)}{h}$，沿 $y$ 轴正方向的为 $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(a, b+h) - f(a, b)}{h}$。这些定义仅考虑了单侧极限，即 $h$ 趋向于 $0$ 的正方向。
步骤 2：理解偏导数的定义
偏导数 $f_x(a, b)$ 和 $f_y(a, b)$ 需要双侧极限存在，即 $h$ 可正可负。偏导数 $f_x(a, b)$ 定义为 $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h, b) - f(a, b)}{h}$，偏导数 $f_y(a, b)$ 定义为 $\lim_{h \to 0} \frac{f(a, b+h) - f(a, b)}{h}$。这些定义要求 $h$ 趋向于 $0$ 的正方向和负方向的极限都存在且相等。
步骤 3：比较方向导数和偏导数的条件
方向导数仅考虑 $h \to 0^+$，无法保证双侧极限存在。因此，即使方向导数存在，也不能确保偏导数存在。偏导数的存在需要更严格的条件，即双侧极限存在且相等。
方向导数表示函数在特定方向上的变化率。对于点 $(a, b)$，沿 $x$ 轴正方向的方向导数为 $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h, b) - f(a, b)}{h}$，沿 $y$ 轴正方向的为 $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(a, b+h) - f(a, b)}{h}$。这些定义仅考虑了单侧极限，即 $h$ 趋向于 $0$ 的正方向。
步骤 2：理解偏导数的定义
偏导数 $f_x(a, b)$ 和 $f_y(a, b)$ 需要双侧极限存在，即 $h$ 可正可负。偏导数 $f_x(a, b)$ 定义为 $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h, b) - f(a, b)}{h}$，偏导数 $f_y(a, b)$ 定义为 $\lim_{h \to 0} \frac{f(a, b+h) - f(a, b)}{h}$。这些定义要求 $h$ 趋向于 $0$ 的正方向和负方向的极限都存在且相等。
步骤 3：比较方向导数和偏导数的条件
方向导数仅考虑 $h \to 0^+$，无法保证双侧极限存在。因此，即使方向导数存在，也不能确保偏导数存在。偏导数的存在需要更严格的条件，即双侧极限存在且相等。