2.计算函数极限 lim _(xarrow 3)dfrac (sqrt {x+1)-2}(x-3) .(3分)

考查要点：本题主要考查分式极限的计算方法，特别是处理根号表达式与分母趋近于0的情况。关键思路是通过分子有理化消除不定型，简化表达式后直接代入求值。

解题核心：当遇到分子为根号表达式减常数、分母为一次多项式趋近于0的情况时，分子有理化是常用方法。通过乘以共轭表达式，将分子转化为多项式，约分后即可消去分母中的零因子，从而求出极限。

步骤1：分子有理化

将分子 $\sqrt{x+1} - 2$ 乘以共轭表达式 $\sqrt{x+1} + 2$，并同时乘以分母保持等价变形：
$\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow 3}\dfrac {\sqrt {x+1}-2}{x-3} &= \lim _{x\rightarrow 3}\dfrac {(\sqrt{x+1} - 2)(\sqrt{x+1} + 2)}{(x-3)(\sqrt{x+1} + 2)} \\&= \lim _{x\rightarrow 3}\dfrac {(x+1) - 4}{(x-3)(\sqrt{x+1} + 2)}.\end{aligned}$

步骤2：约分简化

分子化简为 $x - 3$，与分母中的 $x - 3$ 约分：
$\lim _{x\rightarrow 3}\dfrac {x - 3}{(x-3)(\sqrt{x+1} + 2)} = \lim _{x\rightarrow 3}\dfrac {1}{\sqrt{x+1} + 2}.$

步骤3：代入求值

直接代入 $x = 3$：
$\lim _{x\rightarrow 3}\dfrac {1}{\sqrt{3+1} + 2} = \dfrac{1}{2 + 2} = \dfrac{1}{4}.$