判断f(x)=ln[x+√（x^2+1）]的奇偶性

本题考查函数奇偶性的判断，解题思路是先确定函数的定义域是否关于原点对称，若对称，再判断$f(-x)$与$f(x)$的关系。

1. 判断函数的定义域：
   要使函数$f(x)=\ln[x + \sqrt{x^2 + 1}]$有意义，则$x + \sqrt{x^2 + 1} > 0$。
   • 当$x\geq0$时，$x\geq0$且$\sqrt{x^2 + 1} > 0$，所以$x + \sqrt{x^2 + 1} > 0$显然成立。
   • 当$x < 0$时，$\sqrt{x^2 + 1} > \sqrt{x^2}=\vert x\vert=-x$（因为$x < 0$），即$x + \sqrt{x^2 + 1} > x - x = 0$。
     综上，对于任意实数$x$，都有$x + \sqrt{x^2 + 1} > 0$，所以函数$f(x)$的定义域为$R$，关于原点对称。
2. 判断$f(-x)$与$f(x)$的关系：
   计算$f(-x)$，可得$f(-x)=\ln[-x + \sqrt{x^2 + 1}]$。
   计算$f(x)+f(-x)$：
   $\begin{align*}f(x)+f(-x)&=\ln[x + \sqrt{x^2 + 1}] + \ln[-x + \sqrt{x^2 + 1}]\\&=\ln\{[x + \sqrt{x^2 + 1}][-x + \sqrt{x^2 + 1}]\}\\&=\ln\{[\sqrt{x^2 + 1}]^2 - x^2\}\\&=\ln( x^2 + 1 - x^2)\\&=\ln1\\&= 0\end{align*}$
   由$f(x)+f(-x)=0$，可得$f(-x)= -f(x)$。