25.设随机变量（X,Y）的分布律为X-|||-Y -1 0 1-|||--1 dfrac (1)(8) dfrac (1)(8) dfrac (1)(8)-|||-0 dfrac (1)(8) 0 dfrac (1)(8)-|||-1 dfrac (1)(8) dfrac (1)(8) dfrac (1)(8)验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的。

考查要点：本题主要考查随机变量的不相关性和独立性的判断方法。
解题思路：

1. 不相关性：通过计算协方差 $\text{Cov}(X,Y)$ 是否为零来判断。若 $\text{Cov}(X,Y)=0$，则 $X$ 和 $Y$ 不相关。
2. 独立性：验证是否对所有 $x,y$，有 $P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)$。若存在某对 $(x,y)$ 不满足，则 $X$ 和 $Y$ 不独立。
   关键点：

• 协方差公式：$\text{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$。
• 独立性定义：联合概率与边缘概率的乘积是否相等。

步骤1：计算边缘分布与期望

边缘分布：

• $P(X=1)=\dfrac{3}{8}$，$P(X=2)=\dfrac{2}{8}$，$P(X=3)=\dfrac{3}{8}$
• $P(Y=-1)=\dfrac{3}{8}$，$P(Y=0)=\dfrac{2}{8}$，$P(Y=1)=\dfrac{3}{8}$

期望计算：
$E(X) = 1 \cdot \dfrac{3}{8} + 2 \cdot \dfrac{2}{8} + 3 \cdot \dfrac{3}{8} = \dfrac{16}{8} = 2$
$E(Y) = (-1) \cdot \dfrac{3}{8} + 0 \cdot \dfrac{2}{8} + 1 \cdot \dfrac{3}{8} = 0$

步骤2：计算 $E(XY)$

遍历所有可能的 $(X,Y)$ 组合，计算 $XY$ 的期望：
$E(XY) = \sum_{x,y} xy \cdot P(X=x,Y=y) = 0$

步骤3：验证不相关性

协方差为：
$\text{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0 - 2 \cdot 0 = 0$
因此，$X$ 和 $Y$ 不相关。

步骤4：验证独立性

以 $(X=2,Y=0)$ 为例：
$P(X=2,Y=0) = 0, \quad P(X=2)P(Y=0) = \dfrac{2}{8} \cdot \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{16}$
由于 $0 \neq \dfrac{1}{16}$，$X$ 和 $Y$ 不独立。