题目
、证明:当 -1lt xlt 0 时, arcsin sqrt (1-{x)^2}-arctan dfrac (x)(sqrt {1-{x)^2}}=dfrac (pi )(2) .
题目解答
答案
本题考查反三角函数的运算，考查学生的计算能力，属于基础题.
设$\arcsin \sqrt {1-x^2}=y$，则$x=\sin y$，$0\lt y\lt \dfrac{\pi}{2}$，
所以$\arctan \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}=\arctan \dfrac{\sin y}{\sqrt{1-\sin^2y}}=\arctan \dfrac{\tan y}{1+\tan^2y}=\arctan \tan y=\arctan \left( \tan y\right)=\arctan \left( \tan \dfrac{\pi}{4}\right)=y$，
所以$\arcsin \sqrt {1-x^2}-\arctan \dfrac {x}{\sqrt {1-x^2}}=\dfrac {\pi }{2}$
设$\arcsin \sqrt {1-x^2}=y$，则$x=\sin y$，$0\lt y\lt \dfrac{\pi}{2}$，
所以$\arctan \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}=\arctan \dfrac{\sin y}{\sqrt{1-\sin^2y}}=\arctan \dfrac{\tan y}{1+\tan^2y}=\arctan \tan y=\arctan \left( \tan y\right)=\arctan \left( \tan \dfrac{\pi}{4}\right)=y$，
所以$\arcsin \sqrt {1-x^2}-\arctan \dfrac {x}{\sqrt {1-x^2}}=\dfrac {\pi }{2}$