题目

已知(x-dfrac (1)(x))=dfrac ({x)^3-x}(1+{x)^4}-|||-，求(x-dfrac (1)(x))=dfrac ({x)^3-x}(1+{x)^4}-|||-.

已知 $f(x-\frac{1}{x})=\frac{x^3-x}{1+x^4}$ ，求 $f(x)$ .

题目解答

因为

$f(x-\frac{1}{x})=\frac{x^3-x}{1+x^4}=\frac{x-\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}+x^2}=\frac{x-\frac{1}{x}}{(x-\frac{1}{x})^2+2}$ ,

令 $x-\frac{1}{x}=t$ ，

则 $f(t)=\frac{t}{t^2+2}$ ，

由 $x-\frac{1}{x}=t$ 可得 $x^2-tx-1=0$ ，

所以 $\Delta=(-t)^2+4\geq0$ ，

则 $t\in\mathbf{R}$ ，

所以 $f(x)=\frac{x}{x^2+2}$ .