14.(判断题) 若两矩阵A,B的乘积AB=O,则一定有A=O或B=O.A. 对B. 错

本题考查矩阵乘法的性质以及对命题真假的判断。解题思路是通过寻找反例来证明“若两矩阵$A,B$的乘积$AB = O$，则一定有$A = O$或$B = O$”这个命题是错误的。

下面我们通过具体的矩阵计算来验证：

• 第一个反例：
  设矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。
  根据矩阵乘法规则，若$A=(a_{ij})_{m\times s}$，$B=(b_{ij})_{s\times n}$，则$AB=(c_{ij})_{m\times n}$，其中$c_{ij}=\sum_{k = 1}^{s}a_{ik}b_{kj}$。
  对于$AB$，$c_{11}=1\times0 + 0\times0 = 0$，$c_{12}=1\times0 + 0\times1 = 0$，$c_{21}=0\times0 + 0\times0 = 0$，$c_{22}=0\times0 + 0\times1 = 0$。
  所以$AB = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O$，同时$A \neq O$且$B \neq O$。
• 第二个反例：
  设矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$。
  同样根据矩阵乘法规则计算$AB$：
  $c_{11}=1\times1 + 1\times(-1)=1 - 1 = 0$，$c_{12}=1\times1 + 1\times(-1)=1 - 1 = 0$，$c_{21}=1\times1 + 1\times(-1)=1 - 1 = 0$，$c_{22}=1\times1 + 1\times(-1)=1 - 1 = 0$。
  所以$AB = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O$，并且$A \neq O$，$B \neq O$。

通过以上两个反例可以说明，矩阵乘积为零矩阵时，不一定有$A = O$或$B = O$，所以该命题是错误的。