1 设lim_(xto0)(1+x+(f(x))/(x))^(1)/(x)=e^3,则lim_(xto0)(1+(f(x))/(x))^(1)/(x)=____.

考查要点：本题主要考查极限的运算，特别是利用等价无穷小替换和对数转换处理指数型极限问题。

解题核心思路：

1. 对数转换：将指数型极限转化为多项式形式，简化计算。
2. 等价无穷小替换：利用$\ln(1+u) \sim u$（当$u \to 0$）简化表达式。
3. 阶的分析：通过已知条件确定$f(x)$的阶，进而求解目标极限。

破题关键点：

• 从已知条件出发，通过取对数和等价无穷小替换，确定$f(x)$的主部为$2x^2$。
• 将目标极限表达式中的$f(x)$替换为$2x^2$，再次利用等价无穷小替换求解。

已知条件：
$\lim_{x \to 0} \left(1 + x + \frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}} = e^3$

步骤1：取对数化简
对等式两边取自然对数：
$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln\left(1 + x + \frac{f(x)}{x}\right) = 3$

步骤2：应用等价无穷小替换
当$x \to 0$时，$x + \frac{f(x)}{x} \to 0$，故$\ln(1 + x + \frac{f(x)}{x}) \sim x + \frac{f(x)}{x}$，代入得：
$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left(x + \frac{f(x)}{x}\right) = 3$

步骤3：化简求$f(x)$的阶
展开后：
$\lim_{x \to 0} \left(1 + \frac{f(x)}{x^2}\right) = 3 \implies \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2} = 2$
因此，$f(x) \sim 2x^2$（当$x \to 0$）。

目标极限：
$\lim_{x \to 0} \left(1 + \frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}}$

步骤4：取对数化简目标极限
对目标极限取自然对数：
$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln\left(1 + \frac{f(x)}{x}\right)$

步骤5：应用等价无穷小替换
由$f(x) \sim 2x^2$，得$\frac{f(x)}{x} \sim 2x$，故$\ln(1 + 2x) \sim 2x$，代入得：
$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot 2x = 2$

最终结果：
原极限为$e^2$。