题目
如图,四棱锥 P-ABCD 中, bot 底面ABCD,-|||-PA=AC=2 =1, =sqrt (3).-|||-(1)若 bot PB, 证明: ykparallel 平面PBC;-|||-(2)若 bot DC, 且二面角 A-CP-D 的正弦-|||-值为 dfrac (sqrt {42)}(7), 求AD.-|||-P-|||-D-|||-A C-|||-B
题目解答
答案
解析
步骤 1：证明 $AD\ykparallel $ 平面PBC
- 由于 $PA\bot $ 底面ABCD，所以 $PA\bot BC$。
- 由于 $AC=2$，$BC=1$，$AB=\sqrt{3}$，根据勾股定理，$AB^2 + BC^2 = AC^2$，所以 $BC\bot AB$。
- 由于 $BC\bot AB$ 且 $BC\bot PA$，且 $AB$ 和 $PA$ 相交，所以 $BC\bot $ 平面PAB。
- 由于 $AD\bot PB$ 且 $AD\bot PA$，且 $PB$ 和 $PA$ 相交，所以 $AD\bot $ 平面PAB。
- 由于 $AD\ykparallel BC$，且 $BC\ykparallel $ 平面PBC，所以 $AD\ykparallel $ 平面PBC。
步骤 2：求AD的长度
- 建立坐标系，设 $D(0,0,0)$，$A(t,0,0)$，$P(t,0,2)$，$C(0,\sqrt{4-t^2},0)$。
- 平面ACP的法向量 ${n}_{1}=({x}_{1},{y}_{1},{z}_{1})$，满足 $\left \{ \begin{matrix} {n}_{1}\cdot \overrightarrow {AC}=0,\\ {n}_{1}\cdot \overrightarrow {AP}=0,\end{matrix} \right.$，解得 ${n}_{1}=(\sqrt{4-t^2},t,0)$。
- 平面PCD的法向量 ${n}_{2}=({x}_{2},{y}_{2},{z}_{2})$，满足 $\left \{ \begin{matrix} {n}_{2}\cdot \overrightarrow {DP}=0,\\ {n}_{2}\cdot \overrightarrow {DC}=0,\end{matrix} \right.$，解得 ${n}_{2}=(-2,0,t)$。
- 二面角 A-CP-D 的正弦值为 $\dfrac {\sqrt {42}}{7}$，余弦值为 $\dfrac {\sqrt {7}}{7}$，所以 $\dfrac {\sqrt {7}}{7}=|\cos ({n}_{1},{n}_{2})|=\dfrac {|{n}_{1}\cdot {n}_{2}|}{|{n}_{1}||{n}_{2}|}=\dfrac {2\sqrt {4-{t}^{2}}}{2\sqrt {{t}^{2}+4-{t}^{2}}}$，解得 $t=\sqrt{3}$。
- 由于 $PA\bot $ 底面ABCD，所以 $PA\bot BC$。
- 由于 $AC=2$，$BC=1$，$AB=\sqrt{3}$，根据勾股定理，$AB^2 + BC^2 = AC^2$，所以 $BC\bot AB$。
- 由于 $BC\bot AB$ 且 $BC\bot PA$，且 $AB$ 和 $PA$ 相交，所以 $BC\bot $ 平面PAB。
- 由于 $AD\bot PB$ 且 $AD\bot PA$，且 $PB$ 和 $PA$ 相交，所以 $AD\bot $ 平面PAB。
- 由于 $AD\ykparallel BC$，且 $BC\ykparallel $ 平面PBC，所以 $AD\ykparallel $ 平面PBC。
步骤 2：求AD的长度
- 建立坐标系，设 $D(0,0,0)$，$A(t,0,0)$，$P(t,0,2)$，$C(0,\sqrt{4-t^2},0)$。
- 平面ACP的法向量 ${n}_{1}=({x}_{1},{y}_{1},{z}_{1})$，满足 $\left \{ \begin{matrix} {n}_{1}\cdot \overrightarrow {AC}=0,\\ {n}_{1}\cdot \overrightarrow {AP}=0,\end{matrix} \right.$，解得 ${n}_{1}=(\sqrt{4-t^2},t,0)$。
- 平面PCD的法向量 ${n}_{2}=({x}_{2},{y}_{2},{z}_{2})$，满足 $\left \{ \begin{matrix} {n}_{2}\cdot \overrightarrow {DP}=0,\\ {n}_{2}\cdot \overrightarrow {DC}=0,\end{matrix} \right.$，解得 ${n}_{2}=(-2,0,t)$。
- 二面角 A-CP-D 的正弦值为 $\dfrac {\sqrt {42}}{7}$，余弦值为 $\dfrac {\sqrt {7}}{7}$，所以 $\dfrac {\sqrt {7}}{7}=|\cos ({n}_{1},{n}_{2})|=\dfrac {|{n}_{1}\cdot {n}_{2}|}{|{n}_{1}||{n}_{2}|}=\dfrac {2\sqrt {4-{t}^{2}}}{2\sqrt {{t}^{2}+4-{t}^{2}}}$，解得 $t=\sqrt{3}$。