【例2】设g(x)=int_(0)^xf(u)du，其中f(x)=}(1)/(2)(x^2+1),0leqslant x<1, (1)/(3)(x-1),1leqslant xleqslant 2,则g(x)在区间(0,2)内 (A.)无界. (B.)递减. (C.)不连续. (D.)连续.

考查要点：本题主要考查积分函数的连续性判断，涉及分段函数的积分及分段点处的连续性验证。

解题核心思路：

1. 分段积分：根据$f(x)$的分段性，将$g(x)$分为$0 \leq x < 1$和$1 \leq x \leq 2$两段计算。
2. 连续性验证：重点检查分段点$x=1$处的左右极限与函数值是否相等，从而判断$g(x)$在区间内的连续性。
3. 排除法：结合选项分析，通过导数符号判断单调性，排除错误选项。

破题关键点：

• 积分函数的连续性：即使被积函数$f(x)$在某点不连续，积分函数$g(x)$仍可能连续。
• 分段点$x=1$的特殊性：需单独计算左右极限，验证连续性。

分段计算$g(x)$

1. 当$0 \leq x < 1$时：
   $g(x) = \int_{0}^{x} \frac{1}{2}(u^2 + 1) \, du = \frac{x^3}{6} + \frac{x}{2}$
   该表达式为多项式函数，显然连续。

2. 当$1 \leq x \leq 2$时：
   $g(x) = \underbrace{\int_{0}^{1} \frac{1}{2}(u^2 + 1) \, du}_{\text{前半段积分}} + \underbrace{\int_{1}^{x} \frac{1}{3}(u - 1) \, du}_{\text{后半段积分}}$

   • 前半段积分结果为$\frac{2}{3}$。
   • 后半段积分结果为$\frac{x^2}{6} - \frac{x}{3} + \frac{1}{6}$。
   • 合并得：
     $g(x) = \frac{x^2}{6} - \frac{x}{3} + \frac{5}{6}$
     该表达式也为多项式函数，连续。

验证$x=1$处的连续性

• 左极限：
  $\lim_{x \to 1^-} g(x) = \frac{1^3}{6} + \frac{1}{2} = \frac{2}{3}$
• 右极限：
  $\lim_{x \to 1^+} g(x) = \frac{1^2}{6} - \frac{1}{3} + \frac{5}{6} = \frac{2}{3}$
• 函数值：
  $g(1) = \frac{1^2}{6} - \frac{1}{3} + \frac{5}{6} = \frac{2}{3}$
  左右极限与函数值相等，故$g(x)$在$x=1$处连续。

排除错误选项

• 选项B（递减）：$g'(x) = f(x)$在$0 \leq x < 1$和$1 \leq x \leq 2$时均非负，故$g(x)$整体递增。
• 选项A（无界）：$g(x)$在有限区间$(0,2)$上连续，必有界。
• 选项C（不连续）：已验证$g(x)$在$x=1$处连续。