题目
设n阶方阵A满足^2-3A-2E=0，证明：方阵A可逆，并求其逆.
设n阶方阵A满足
，证明：方阵A可逆，并求其逆.
题目解答
答案
∵方阵A满足
∴可得
即
∴根据定义可知，A可逆
且其逆矩阵为
解析
步骤 1：方程变形
给定方程${A}^{2}-3A-2E=0$，可以变形为$A(A-3E)=2E$。
步骤 2：方阵可逆的定义
根据方阵可逆的定义，如果存在一个方阵B，使得$AB=BA=E$，则方阵A可逆，且B是A的逆矩阵。
步骤 3：求逆矩阵
由步骤1得到的方程$A(A-3E)=2E$，可以变形为$A\cdot \dfrac{1}{2}(A-3E)=E$，因此$\dfrac{1}{2}(A-3E)$是A的逆矩阵。
给定方程${A}^{2}-3A-2E=0$，可以变形为$A(A-3E)=2E$。
步骤 2：方阵可逆的定义
根据方阵可逆的定义，如果存在一个方阵B，使得$AB=BA=E$，则方阵A可逆，且B是A的逆矩阵。
步骤 3：求逆矩阵
由步骤1得到的方程$A(A-3E)=2E$，可以变形为$A\cdot \dfrac{1}{2}(A-3E)=E$，因此$\dfrac{1}{2}(A-3E)$是A的逆矩阵。