设 C 为正向圆周 |z|=2，则 int_(C) (z+e^z)/((z+1)^4) dz = ( )A. (pi i)/(3e)B. (pi)/(6e)C. 2pi eiD. (pi e)/(3) i

考查要点：本题主要考查复变函数中的柯西积分公式及其在高阶极点情况下的应用，需要学生掌握如何利用导数形式计算积分。

解题核心思路：

1. 确定奇点位置：被积函数的分母为$(z+1)^4$，在$z=-1$处有四阶极点，需判断该点是否在积分路径$|z|=2$内。
2. 应用柯西积分公式：当被积函数形式为$\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}$时，积分结果与$f(z)$在$a$处的$n$阶导数相关。
3. 计算高阶导数：对$f(z)=z+e^z$求三阶导数，并代入$a=-1$处的值。

破题关键点：

• 正确识别极点阶数：分母为四次方，对应$n=3$。
• 准确计算导数：注意$e^z$的各阶导数均为自身。

步骤1：分析奇点位置

被积函数$\frac{z+e^z}{(z+1)^4}$的奇点为$z=-1$，该点位于圆周$|z|=2$内部（因$|-1|=1 < 2$）。

步骤2：应用柯西积分公式

根据柯西积分公式，若$f(z)$在包含$a$的区域内解析，则：
$\oint_C \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}} \, dz = \frac{2\pi i}{n!} f^{(n)}(a)$
本题中，$a=-1$，$n=3$，$f(z)=z+e^z$，因此积分可化简为：
$\oint_C \frac{z+e^z}{(z+1)^4} \, dz = \frac{2\pi i}{3!} f'''(-1)$

步骤3：计算三阶导数

对$f(z)=z+e^z$求导：

• 一阶导数：$f'(z)=1+e^z$
• 二阶导数：$f''(z)=e^z$
• 三阶导数：$f'''(z)=e^z$

代入$z=-1$得：
$f'''(-1)=e^{-1} = \frac{1}{e}$

步骤4：代入公式求结果

将$f'''(-1)$代入积分公式：
$\frac{2\pi i}{3!} \cdot \frac{1}{e} = \frac{2\pi i}{6} \cdot \frac{1}{e} = \frac{\pi i}{3e}$