题目
判断题（共5题，20.0分）2.（4.0分）若级数sum_(n=1)^infty|a_(n)|收敛，则sum_(n=1)^inftya_(n)一定收敛。（）A 对B 错
判断题（共5题，20.0分）
2.（4.0分）若级数$\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|$收敛，则$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$一定收敛。（）
A 对
B 错
题目解答
答案
为了判断题目中给出的陈述是否正确，我们需要理解绝对收敛和条件收敛的概念。一个级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$如果级数$\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$收敛，则称为绝对收敛。一个级数如果收敛但不绝对收敛，则称为条件收敛。
题目中给出的陈述是：若级数$\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$收敛，则$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$一定收敛。
这个陈述是正确的。原因如下：
1. **绝对收敛的定义**：如果级数$\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$收敛，那么根据定义，级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$绝对收敛。
2. **绝对收敛的性质**：一个绝对收敛的级数总是收敛的。这是级数的一个基本性质。换句话说，如果$\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$收敛，那么$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$也必须收敛。
为了更直观地理解，考虑部分和。设$S_N = \sum_{n=1}^N a_n$和$T_N = \sum_{n=1}^N |a_n|$。如果$\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$收敛，那么序列$\{T_N\}$是柯西序列。这意味着对于任何$\epsilon > 0$，存在一个整数$N$，使得对于所有$m > n \geq N$，有$T_m - T_n < \epsilon$。由于$|S_m - S_n| \leq T_m - T_n$，可以得出$\{S_N\}$也是柯西序列。因此，$\{S_N\}$收敛，这意味着$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$收敛。
因此，正确答案是$\boxed{A}$。
解析
本题考查级数绝对收敛与收敛的关系。解题思路是依据绝对收敛收敛和收敛的定义及性质来判断命题的陈述是否正确。
- 首先明确绝对收敛的定义：若级数$\sum_{n = 1}^{\infty}|a_{n}|$收敛，则称级数$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$绝对收敛。
- 然后根据级数的基本性质：绝对收敛的级数一定收敛。也就是说，当$\sum_{n = 1}^{\infty}|a_{n}|$收敛时，那么$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$必然收敛。
- 下面从部分和的角度进行详细证明：
- 设$S_{N}=\sum_{n = 1}^{N}a_{n}$和$T_{N=\sum_{n = 1}^{N}|a_{n}|$。
- 若$\sum_{n = 1}^{\infty}|a_{n}|$收敛，根据柯西收敛准则，对于任意$\epsilon>0$，存在正整数$N\mathrm{N}$，当$m > n\geq\mathrm{N}$时，有$|T_{m}-T_{n}|=\left|\sum_{k = n + 1}^{m}|a_{k}|\right|<\epsilon$。
- 又因为$\left|S_{m}-S_{n}\right|=\left|\sum_{k = n + 1}^{m}a_{k}\right|\leq\sum_{k = n + 1}^{m}|a_{k}|=|T_{m}-T_{n}|$。
- 所以$\left|S_{m}-S_{n}\right|<\epsilon$，这表明$\{S_{N}\}$也是柯西序列。
- 根据柯西收敛准则，柯西序列一定收敛，即$\lim_{N\rightarrow\infty}S_{N}$存在，所以$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$收敛。