题目
六、(10分)设X与Y是两个独立的随机变量，且都服从区间(0,1)上的均匀分布。求Z=X+Y的概率密度函数。
六、(10分)设X与Y是两个独立的随机变量，且都服从区间(0,1)上的均匀分布。求
Z=X+Y的概率密度函数。
题目解答
答案
设 $X$ 和 $Y$ 独立且在 $(0,1)$ 上均匀分布，求 $Z = X + Y$ 的概率密度函数 $f_Z(z)$。
1. **确定 $Z$ 的取值范围**：
$Z$ 的取值范围为 $(0,2)$。
2. **使用卷积公式**：
\[
f_Z(z) = \int_{0}^{1} f_X(x) f_Y(z-x) \, dx
\]
其中，$f_X(x) = f_Y(y) = 1$（当 $0 < x, y < 1$ 时），否则为0。
3. **分段计算**：
- 当 $0 < z < 1$ 时，积分范围为 $[0, z]$，得 $f_Z(z) = z$。
- 当 $1 \leq z < 2$ 时，积分范围为 $[z-1, 1]$，得 $f_Z(z) = 2-z$。
- 当 $z \leq 0$ 或 $z \geq 2$ 时，$f_Z(z) = 0$。
**答案**：
\[
\boxed{
f_Z(z) = \begin{cases}
z & \text{若 } 0 \leq z < 1, \\
2-z & \text{若 } 1 \leq z < 2, \\
0 & \text{其他.}
\end{cases}
}
\]
解析
步骤 1：确定 $Z$ 的取值范围
由于 $X$ 和 $Y$ 都在 $(0,1)$ 上均匀分布，$Z = X + Y$ 的取值范围为 $(0,2)$。
步骤 2：使用卷积公式
$Z$ 的概率密度函数 $f_Z(z)$ 可以通过卷积公式计算：
\[ f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(z-x) \, dx \]
其中，$f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$ 是 $X$ 和 $Y$ 的概率密度函数。由于 $X$ 和 $Y$ 都在 $(0,1)$ 上均匀分布，$f_X(x) = f_Y(y) = 1$（当 $0 < x, y < 1$ 时），否则为0。
步骤 3：分段计算
- 当 $0 < z < 1$ 时，$f_Y(z-x) = 1$ 当 $0 < z-x < 1$，即 $x < z$。因此，积分范围为 $[0, z]$，得 $f_Z(z) = \int_{0}^{z} 1 \, dx = z$。
- 当 $1 \leq z < 2$ 时，$f_Y(z-x) = 1$ 当 $0 < z-x < 1$，即 $x > z-1$。因此，积分范围为 $[z-1, 1]$，得 $f_Z(z) = \int_{z-1}^{1} 1 \, dx = 2-z$。
- 当 $z \leq 0$ 或 $z \geq 2$ 时，$f_Z(z) = 0$。
由于 $X$ 和 $Y$ 都在 $(0,1)$ 上均匀分布，$Z = X + Y$ 的取值范围为 $(0,2)$。
步骤 2：使用卷积公式
$Z$ 的概率密度函数 $f_Z(z)$ 可以通过卷积公式计算：
\[ f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(z-x) \, dx \]
其中，$f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$ 是 $X$ 和 $Y$ 的概率密度函数。由于 $X$ 和 $Y$ 都在 $(0,1)$ 上均匀分布，$f_X(x) = f_Y(y) = 1$（当 $0 < x, y < 1$ 时），否则为0。
步骤 3：分段计算
- 当 $0 < z < 1$ 时，$f_Y(z-x) = 1$ 当 $0 < z-x < 1$，即 $x < z$。因此，积分范围为 $[0, z]$，得 $f_Z(z) = \int_{0}^{z} 1 \, dx = z$。
- 当 $1 \leq z < 2$ 时，$f_Y(z-x) = 1$ 当 $0 < z-x < 1$，即 $x > z-1$。因此，积分范围为 $[z-1, 1]$，得 $f_Z(z) = \int_{z-1}^{1} 1 \, dx = 2-z$。
- 当 $z \leq 0$ 或 $z \geq 2$ 时，$f_Z(z) = 0$。