题目

7.判断题设L是面内直线x=a上的一段，则int_(L)P(x+y)dx=0.A 对B 错

7.判断题 设L是面内直线x=a上的一段，则$\int_{L}P(x+y)dx=0.$ A 对 B 错

题目解答

答案

设 $L$ 为直线 $x = a$ 上的一段，参数化为 $\mathbf{r}(t) = (a, t)$，其中 $t$ 从 $y_1$ 到 $y_2$。则 $dx = \frac{dx}{dt} \, dt = 0 \, dt = 0$。 曲线积分变为 \[ \int_{L} P(x, y) \, dx = \int_{y_1}^{y_2} P(a, t) \cdot 0 \, dt = 0. \] 因此，题目中给出的陈述正确，答案为 $\boxed{A}$。

解析

本题考查对第一类曲线积分的理解与计算。解题的关键思路是将给定的直线段进行参数化，然后根据参数化的结果计算曲线积分。

  1. 对直线段进行参数化：
    已知直线$L$为$x = a$上的一段，我们可以将其参数化为$\mathbf{r}(t)=(a,t)$，这里$t$的取值范围是从$y_1$到$y_2$，其中$y_1$和$y_2$分别是直线段在$y$轴上的起始和结束坐标。
  2. 计算$dx$：
    根据参数方程$x = a$（$a$为常数），对$x$关于$t$求导，根据求导公式$(C)^\prime=0$（$C$为常数），可得$\frac{dx}{dt}=0$。
    那么$dx=\frac{dx}{dt}dt = 0\cdot dt=0$。
  3. 计算曲线积分：
    曲线积分$\int_{L}P(x,y)dx$，将$x = a$，$y=t$以及$dx = 0$代入到积分式中，得到$\int_{L}P(x,y)dx=\int_{y_1}^{y_2}P(a,t)\cdot0dt$。
    根据定积分的性质，若被积函数为$0$，则定积分的值为$0$，即$\int_{y_1}^{y_2}P(a,t)\cdot0dt = 0$。