题目

求方程 '=dfrac (2y)(x+1)+((x+1))^dfrac (5{2)} 的通解.

题目解答

答案

解析

本题考查一阶线性非齐次微分方程的求解，可使用常数变易法或一阶线性非齐次微分方程的通解公式来求解。

方法一：常数变易法

  1. 首先求对应的齐次方程的通解：
    • 原方程$y'=\frac{2y}{x + 1}+(x + 1)^{\frac{5}{2}}$对应的齐次方程为$\frac{dy}{dx}-\frac{2y}{x + 1}=0$。
    • 对其进行分离变量，得到$\frac{dy}{y}=\frac{2dx}{x + 1}$。
    • 两边同时积分：
      • 对$\int\frac{dy}{y}=\int\frac{2dx}{x + 1}$，根据积分公式$\int\frac{1}{u}du=\ln|u|+C$，可得$\ln|y| = 2\ln|x + 1|+\ln C_1$（$\ln C_1$为积分常数）。
      • 根据对数运算法则$a\ln b=\ln b^a$和$\ln a+\ln b=\ln(ab)$，则$\ln|y|=\ln C_1(x + 1)^2$，所以$y = C(x + 1)^2$，其中$C = C_1$为任意常数，这就是齐次方程的通解。
  2. 然后使用常数变易法求非齐次方程的通解：
    • 把齐次方程通解中的常数$C$换成$C(x)$，令$y = C(x)(x + 1)^2$。
    • 对$y$求导，根据乘积的求导法则$(uv)^\prime=u^\prime v+uv^\prime$，其中$u = C(x)$，$v=(x + 1)^2$，可得$y^\prime=C^\prime(x)(x + 1)^2+2C(x)(x + 1)$。
    • 将$y$和$y^\prime$代入原非齐次方程$y'=\frac{2y}{x + 1}+(x + 1)^{\frac{5}{2}}$中：
      • 把$y = C(x)(x + 1)^2$和$y^\prime=C^\prime(x)(x + 1)^2+2C(x)(x + 1)$代入方程得$C^\prime(x)(x + 1)^2+2C(x)(x + 1)=\frac{2C(x)(x + 1)^2}{x + 1}+(x + 1)^{\frac{5}{2}}$。
      • 化简方程：$C^\prime(x)(x + 1)^2+2C(x)(x + 1)=2C(x)(x + 1)+(x + 1)^{\frac{5}{2}}$，两边消去$2C(x)(x + 1)$，得到$C^\prime(x)(x + 1)^2=(x + 1)^{\frac{5}{2}}$。
      • 则$C^\prime(x)=(x + 1)^{\frac{1}{2}}$。
    • 对$C^\prime(x)$积分求$C(x)$：
      • 根据积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C(n\neq - 1)$，对$C^\prime(x)=(x + 1)^{\frac{1}{2}}$积分，$C(x)=\int(x + 1)^{\frac{1}{2}}dx$，令$u=x + 1$，$du=dx$，则$C(x)=\int u^{\frac{1}{2}}du=\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{3}(x + 1)^{\frac{3}{2}}+C$。
    • 把$C(x)$代入$y = C(x)(x + 1)^2$，得到原方程的通解为$y=(x + 1)^2[\frac{2}{3}(x + 1)^{\frac{3}{2}}+C]$。

方法二：一阶线性非齐次微分方程通解公式法

  1. 一阶线性非齐次微分方程$y'+P(x)y = Q(x)$的通解公式为$y = e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)$。
    • 对于方程$y'-\frac{2y}{x + 1}=(x + 1)^{\frac{5}{2}}$，这里$P(x)=-\frac{2}{x + 1}$，$Q(x)=(x + 1)^{\frac{5}{2}}$。
  2. 先计算$e^{-\int P(x)dx}$和$e^{\int P(x)dx}$：
    • 计算$\int P(x)dx=\int-\frac{2}{x + 1}dx=-2\ln|x + 1|$。
    • 则$e^{\int P(x)dx}=e^{-2\ln|x + 1|}$，根据对数运算法则$a\ln b=\ln b^a$和$e^{\ln a}=a$，可得$e^{\int P(x)dx}=\frac{1}{(x + 1)^2}$。
    • $e^{-\int P(x)dx}=e^{2\ln|x + 1|}=(x + 1)^2$。
  3. 再计算$\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx$：
    • 把$Q(x)=(x + 1)^{\frac{5}{2}}$和$e^{\int P(x)dx}=\frac{1}{(x + 1)^2}$代入$\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx$，得到$\int(x + 1)^{\frac{5}{2}}\cdot\frac{1}{(x + 1)^2}dx=\int(x + 1)^{\frac{1}{2}}dx$。
    • 根据积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n + 1}+C(n\neq - 1)$，$\int(x + 1)^{\frac{1}{2}}dx=\frac{(x + 1)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{3}(x + 1)^{\frac{3}{2}}+C$。
  4. 最后代入通解公式：
    • $y = e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)=(x + 1)^2[\frac{2}{3}(x + 1)^{\frac{3}{2}}+C]$。