(2)证明: (x)=dfrac (1)(x)cos dfrac (1)(x) 在(0,1)内无界。

考查要点：本题主要考查函数在区间内无界的证明方法，需要理解无界函数的定义，并能够结合函数的极限行为进行分析。

解题核心思路：

1. 无界函数的定义：对于任意正数$M$，存在$x \in (0,1)$，使得$|f(x)| > M$。
2. 关键观察：当$x \to 0^+$时，$\frac{1}{x} \to +\infty$，而$\cos\left(\frac{1}{x}\right)$在$[-1,1]$之间无限振荡。
3. 核心矛盾：虽然$\cos\left(\frac{1}{x}\right)$有界，但$\frac{1}{x}$无界增长，两者乘积的振荡幅度会无限扩大，导致$f(x)$无界。

破题关键点：

• 构造特定点序列：当$\frac{1}{x} = 2k\pi$（$k$为正整数）时，$\cos\left(\frac{1}{x}\right) = 1$，此时$f(x) = \frac{1}{x}$，而$\frac{1}{x}$可任意大。

步骤1：理解无界函数的定义
函数$f(x)$在区间$(0,1)$内无界，当且仅当对于任意给定的正数$M$，存在$x \in (0,1)$，使得$|f(x)| > M$。

步骤2：分析函数结构
$f(x) = \frac{1}{x} \cos\left(\frac{1}{x}\right)$由两部分组成：

• $\frac{1}{x}$：当$x \to 0^+$时趋向于$+\infty$。
• $\cos\left(\frac{1}{x}\right)$：当$x \to 0^+$时，$\frac{1}{x}$在$[0,+\infty)$内无限增大，导致$\cos\left(\frac{1}{x}\right)$在$[-1,1]$之间无限振荡。

步骤3：构造特定点序列
取$x_k = \frac{1}{2k\pi}$（$k$为正整数），此时：
$\cos\left(\frac{1}{x_k}\right) = \cos(2k\pi) = 1.$
代入$f(x)$得：
$f(x_k) = \frac{1}{x_k} \cdot 1 = 2k\pi.$

步骤4：验证无界性
对于任意给定的正数$M$，取正整数$k$满足$2k\pi > M$，对应的$x_k = \frac{1}{2k\pi} \in (0,1)$，此时：
$|f(x_k)| = 2k\pi > M.$
因此，$f(x)$在$(0,1)$内无界。