9.点的运动方程为 =50t, =500-5(t)^2, 其中x和y以m计。求当 t=0 时,点的切向-|||-和法向加速度以及轨迹的曲率半径。

步骤 1：计算速度分量
给定点的运动方程为 $x=50t$ 和 $y=500-5t^2$，我们首先计算速度分量。速度是位置对时间的导数，因此我们对 $x$ 和 $y$ 关于 $t$ 求导。
$$
v_x = \frac{dx}{dt} = 50 \\
v_y = \frac{dy}{dt} = -10t
$$
步骤 2：计算加速度分量
加速度是速度对时间的导数，因此我们对 $v_x$ 和 $v_y$ 关于 $t$ 求导。
$$
a_x = \frac{dv_x}{dt} = 0 \\
a_y = \frac{dv_y}{dt} = -10
$$
步骤 3：计算切向和法向加速度
切向加速度 $a_t$ 是加速度在速度方向上的分量，法向加速度 $a_n$ 是加速度在垂直于速度方向上的分量。当 $t=0$ 时，$v_y=0$，因此速度方向是水平的，加速度方向是垂直的，这意味着切向加速度为零，法向加速度等于 $a_y$ 的绝对值。
$$
a_t = 0 \\
a_n = |a_y| = 10 \, m/s^2
$$
步骤 4：计算轨迹的曲率半径
轨迹的曲率半径 $\rho$ 可以通过法向加速度和速度的平方来计算，公式为 $\rho = \frac{v^2}{a_n}$。当 $t=0$ 时，$v_x=50$，$v_y=0$，因此速度 $v=50$。
$$
\rho = \frac{v^2}{a_n} = \frac{50^2}{10} = 250 \, m
$$