题目
复数 z=-i 的三角形式是 __ 指数形式是 __
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定复数的模和幅角
复数 $z = -i$ 可以表示为 $z = 0 - i$。复数的模 $|z|$ 是 $\sqrt{0^2 + (-1)^2} = 1$。复数的幅角 $\theta$ 是 $-\frac{\pi}{2}$，因为 $-i$ 在复平面上位于负虚轴上，对应于 $-\frac{\pi}{2}$ 弧度。
步骤 2：写出复数的三角形式
复数的三角形式是 $|z|(\cos \theta + i\sin \theta)$。将模和幅角代入，得到 $1(\cos (-\frac{\pi}{2}) + i\sin (-\frac{\pi}{2}))$。由于 $\cos (-\frac{\pi}{2}) = 0$ 和 $\sin (-\frac{\pi}{2}) = -1$，所以复数的三角形式是 $\cos \dfrac {3\pi }{2}+i\sin \dfrac {3\pi }{2}$。这里使用了 $-\frac{\pi}{2}$ 和 $\frac{3\pi}{2}$ 的等价性，因为它们在单位圆上表示同一个点。
步骤 3：写出复数的指数形式
复数的指数形式是 $|z|e^{i\theta}$。将模和幅角代入，得到 $1e^{i(-\frac{\pi}{2})}$。因此，复数的指数形式是 ${e}^{i\dfrac {3\pi }{2}}$。这里同样使用了 $-\frac{\pi}{2}$ 和 $\frac{3\pi}{2}$ 的等价性。
复数 $z = -i$ 可以表示为 $z = 0 - i$。复数的模 $|z|$ 是 $\sqrt{0^2 + (-1)^2} = 1$。复数的幅角 $\theta$ 是 $-\frac{\pi}{2}$，因为 $-i$ 在复平面上位于负虚轴上，对应于 $-\frac{\pi}{2}$ 弧度。
步骤 2：写出复数的三角形式
复数的三角形式是 $|z|(\cos \theta + i\sin \theta)$。将模和幅角代入，得到 $1(\cos (-\frac{\pi}{2}) + i\sin (-\frac{\pi}{2}))$。由于 $\cos (-\frac{\pi}{2}) = 0$ 和 $\sin (-\frac{\pi}{2}) = -1$，所以复数的三角形式是 $\cos \dfrac {3\pi }{2}+i\sin \dfrac {3\pi }{2}$。这里使用了 $-\frac{\pi}{2}$ 和 $\frac{3\pi}{2}$ 的等价性，因为它们在单位圆上表示同一个点。
步骤 3：写出复数的指数形式
复数的指数形式是 $|z|e^{i\theta}$。将模和幅角代入，得到 $1e^{i(-\frac{\pi}{2})}$。因此，复数的指数形式是 ${e}^{i\dfrac {3\pi }{2}}$。这里同样使用了 $-\frac{\pi}{2}$ 和 $\frac{3\pi}{2}$ 的等价性。