画出由曲面 z = sqrt(x^2 + y^2) 和 z = x^2 + y^2 所围成的空间立体图形.

本题主要考查空间曲面的极坐标转换、交线求解、积分区域确定以及利用三重积分计算空间立体体积，同时需要对所围成的空间立体图形有直观的认识。

1. 曲面方程转换为极坐标：
   • 在极坐标中，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，且$x^{2}+y^{2}=r^{2}$。
   • 对于曲面$z = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$，将$x^{2}+y^{2}=r^{2}$代入可得$z = \sqrt{r^{2}}=r$（因为$r\geq0$）。
   • 对于曲面$z = x^{2}+y^{2}$，把$x^{2}+y^{2}=r^{2}$代入，得到$z = r^{2}$。
2. 求交线：
   • 联立两个曲面方程$\begin{cases}z = r\\z = r^{2}\end{cases}$，即$r = r^{2}$。
   • 移项可得$r^{2}-r = 0$，提取公因式$r$得到$r(r - 1)=0$。
   • 解得$r = 0$或$r = 1$。
   • 当$r = 1$时，$x^{2}+y^{2}=r^{2}=1$，且$z = r = 1$，所以交线是位于平面$z = 1$上的圆$x^{2}+y^{2}=1$。
3. 确定积分区域：
   • 由于是绕$z$轴旋转的立体，$\theta$的取值范围是$0\leq\theta\leq2\pi$。
   • $r$的取值范围是从原点到交线，即$0\leq r\leq1$。
   • $z$的取值范围是从下方的抛物面$z = r^{2}$到上方的圆锥面$z = r$，即$r^{2}\leq z\leq r$。
4. 计算体积：
   • 根据三重积分的体积公式$V=\iiint_{V}dV$，在柱坐标下$dV = r\ dz\ dr\ d\theta$，则体积$V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{r^{2}}^{r}r\ dz\ dr\ d\theta$。
   • 先对$z$积分：
     • $\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\left[rz\right]_{z = r^{2}}^{z = r}dr\ d\theta=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}(r\cdot r - r\cdot r^{2})dr\ d\theta=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}(r^{2}-r^{3})dr\ d\theta$。
   • 再对$r$积分：
     • $\int_{0}^{2\pi}\left[\frac{1}{3}r^{3}-\frac{1}{4}r^{4}\right]_{0}^{1}d\theta=\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)d\theta$。
     • 计算$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{4 - 3}{12}=\frac{1}{12}$，则$\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{12}d\theta$。
   • 最后对$\theta$积分：
     • $\frac{1}{12}\int_{0}^{2\pi}d\theta=\frac{1}{12}[\theta]_{0}^{2\pi}=\frac{1}{12}\times(2\pi-0)=\frac{\pi}{6}$。
5. 图形描述：
   • 曲面$z = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$是圆锥面，$z = x^{2}+y^{2}$是抛物面。
   • 它们所围成的空间立体图形是一个“帽子”形立体，底面为半径为$1$的圆，位于平面$z = 1$上。