19.已知矩阵A滴足 ^2-A=2E, 证明 A,A+2E 均可逆;并求 ^-1,((A+2E))^-1
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查矩阵方程的应用及逆矩阵的求解方法，需要利用矩阵乘法的性质和代数变形技巧。
解题核心思路：
- 利用矩阵方程变形：将已知方程 $A^2 - A = 2E$ 变形为 $A(A - E) = 2E$，从而直接得出 $A$ 的逆矩阵。
- 构造逆矩阵：通过假设 $(A + 2E)$ 的逆矩阵形式，结合原方程进行代数运算，解出其具体表达式。
破题关键点：
- 矩阵乘积可逆性：若 $AB$ 可逆，则 $A$ 和 $B$ 均可逆，这是证明 $A$ 可逆的关键。
- 方程代数变形：通过合理假设逆矩阵的形式，代入原方程求解未知系数。
证明 $A$ 可逆并求 $A^{-1}$
-
方程变形：
由 $A^2 - A = 2E$，可改写为：
$A(A - E) = 2E.$
由于 $2E$ 可逆，根据矩阵乘积的可逆性，$A$ 和 $A - E$ 均可逆。 -
求逆矩阵：
将等式两边同时乘以 $\frac{1}{2}$，得：
$A \cdot \frac{1}{2}(A - E) = E.$
因此，$A$ 的逆矩阵为：
$A^{-1} = \frac{1}{2}(A - E).$
证明 $A + 2E$ 可逆并求 $(A + 2E)^{-1}$
-
假设逆矩阵形式：
设 $(A + 2E)^{-1} = kA + mE$，其中 $k, m$ 为待定系数。 -
代入验证：
根据 $(A + 2E)(kA + mE) = E$，展开并代入 $A^2 = A + 2E$：
$\begin{aligned} (A + 2E)(kA + mE) &= kA^2 + mA + 2kA + 2mE \\ &= k(A + 2E) + mA + 2kA + 2mE \\ &= (3k + m)A + (2k + 2m)E. \end{aligned}$
令其等于 $E$，得方程组：
$\begin{cases} 3k + m = 0, \\ 2k + 2m = 1. \end{cases}$
解得 $k = -\frac{1}{4}$，$m = \frac{3}{4}$，因此：
$(A + 2E)^{-1} = -\frac{1}{4}(A - 3E).$