题目
[题目]设行向量组(2,1,1,1),(2,1,a a),(3,2,1,a),-|||-4,3,2,1)线性相关,且 a≠1, 则 a= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：构造行列式
构造行列式以判断向量组的线性相关性。行列式为：
$$
\begin{vmatrix}
2 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 1 & a & a \\
3 & 2 & 1 & a \\
4 & 3 & 2 & 1
\end{vmatrix}
$$
步骤 2：计算行列式
计算行列式的值。通过行列式的性质和展开，可以得到：
$$
\begin{vmatrix}
2 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 1 & a & a \\
3 & 2 & 1 & a \\
4 & 3 & 2 & 1
\end{vmatrix} = (a-1)(2a-1)
$$
步骤 3：判断线性相关性
由于向量组线性相关，行列式的值为0。因此，有：
$$
(a-1)(2a-1) = 0
$$
解得：$a=1$ 或 $a=\dfrac{1}{2}$。但题设 $a\neq 1$，故 $a=\dfrac{1}{2}$。
构造行列式以判断向量组的线性相关性。行列式为：
$$
\begin{vmatrix}
2 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 1 & a & a \\
3 & 2 & 1 & a \\
4 & 3 & 2 & 1
\end{vmatrix}
$$
步骤 2：计算行列式
计算行列式的值。通过行列式的性质和展开，可以得到：
$$
\begin{vmatrix}
2 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 1 & a & a \\
3 & 2 & 1 & a \\
4 & 3 & 2 & 1
\end{vmatrix} = (a-1)(2a-1)
$$
步骤 3：判断线性相关性
由于向量组线性相关，行列式的值为0。因此，有：
$$
(a-1)(2a-1) = 0
$$
解得：$a=1$ 或 $a=\dfrac{1}{2}$。但题设 $a\neq 1$，故 $a=\dfrac{1}{2}$。