十一、设函数f(x)在闭区间[a,b]上具有连续的二阶导数,证明:存在 xi in (a,b), 使得-|||-dfrac (4)({(b-a))^2}[ f(a)-2f(dfrac (a+b)(2))+f(b)] =(f)^n(xi )

步骤 1：泰勒展开
将函数 $f(x)$ 在点 $x_0 = \frac{a+b}{2}$ 处进行泰勒展开，分别取 $x = a$ 和 $x = b$，得到：
$$
f(a) = f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f'\left(\frac{a+b}{2}\right)\left(a - \frac{a+b}{2}\right) + \frac{1}{2}f''(\xi_1)\left(a - \frac{a+b}{2}\right)^2
$$
$$
f(b) = f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f'\left(\frac{a+b}{2}\right)\left(b - \frac{a+b}{2}\right) + \frac{1}{2}f''(\xi_2)\left(b - \frac{a+b}{2}\right)^2
$$
其中 $\xi_1 \in (a, \frac{a+b}{2})$，$\xi_2 \in (\frac{a+b}{2}, b)$。

步骤 2：相加
将上述两个等式相加，得到：
$$
f(a) + f(b) = 2f\left(\frac{a+b}{2}\right) + \frac{1}{2}f''(\xi_1)\left(a - \frac{a+b}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}f''(\xi_2)\left(b - \frac{a+b}{2}\right)^2
$$
由于 $\left(a - \frac{a+b}{2}\right)^2 = \left(b - \frac{a+b}{2}\right)^2 = \frac{(b-a)^2}{4}$，上式可以简化为：
$$
f(a) + f(b) = 2f\left(\frac{a+b}{2}\right) + \frac{1}{4}(b-a)^2\left[f''(\xi_1) + f''(\xi_2)\right]
$$
步骤 3：应用介值定理
由于 $f''(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，由介值定理知，存在 $\xi \in [\xi_1, \xi_2]$ 使得：
$$
f''(\xi) = \frac{f''(\xi_1) + f''(\xi_2)}{2}
$$
将上式代入步骤 2 的结果，得到：
$$
f(a) + f(b) = 2f\left(\frac{a+b}{2}\right) + \frac{1}{2}(b-a)^2f''(\xi)
$$
步骤 4：整理
将上式整理，得到：
$$
f(a) - 2f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b) = \frac{1}{2}(b-a)^2f''(\xi)
$$
两边同时乘以 $\frac{4}{(b-a)^2}$，得到：
$$
\frac{4}{(b-a)^2}\left[f(a) - 2f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b)\right] = f''(\xi)
$$