设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )A. λ1≠0B. λ2≠0C. λ1=0D. λ2=0

考查要点：本题主要考查矩阵特征值、特征向量的性质，以及向量组线性相关性的判定条件。

解题核心思路：

1. 利用特征方程展开：将向量$A(\alpha_1 + \alpha_2)$展开为$\lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2$。
2. 构造矩阵分析线性相关性：将$\alpha_1$与$\lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2$组成的矩阵转化为以$\alpha_1, \alpha_2$为基底的表达式。
3. 行列式判定条件：通过系数矩阵的行列式是否非零，确定向量组线性无关的充要条件。

破题关键点：

• 不同特征值对应的特征向量线性无关，即$\alpha_1$与$\alpha_2$线性无关。
• 系数矩阵的行列式为$\lambda_2$，其非零等价于$\lambda_2 \neq 0$。

步骤1：展开向量表达式
由特征方程$A\alpha_1 = \lambda_1 \alpha_1$和$A\alpha_2 = \lambda_2 \alpha_2$，可得：
$A(\alpha_1 + \alpha_2) = A\alpha_1 + A\alpha_2 = \lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2.$

步骤2：构造矩阵分析线性相关性
将$\alpha_1$与$A(\alpha_1 + \alpha_2)$组成的矩阵表示为：
$[\alpha_1, \lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2].$
由于$\alpha_1$与$\alpha_2$线性无关，可将矩阵改写为：
$[\alpha_1, \alpha_2] \begin{pmatrix} 1 & \lambda_1 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}.$

步骤3：行列式判定条件
矩阵$[\alpha_1, \lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2]$的列向量线性无关的充要条件是系数矩阵：
$\begin{pmatrix} 1 & \lambda_1 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}$
的行列式非零，即：
$\det \begin{pmatrix} 1 & \lambda_1 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} = \lambda_2 \neq 0.$

结论：当且仅当$\lambda_2 \neq 0$时，$\alpha_1$与$A(\alpha_1 + \alpha_2)$线性无关，故选B。