2-3 将通有电流I的导线弯成如图所示的形状,求O点的磁感应强度B。-|||-b 1-|||-o I 0-|||-a a-|||-(a) (b)-|||-习题 2-3 图

步骤 1：确定磁感应强度的计算公式
对于一段电流元 $d\vec{l}$ 在空间某点产生的磁感应强度 $d\vec{B}$，根据毕奥-萨伐尔定律，有
$$
d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\vec{l} \times \vec{r}}{r^3}
$$
其中，$\mu_0$ 是真空磁导率，$I$ 是电流，$\vec{r}$ 是从电流元到观察点的位矢，$r$ 是其模长。

步骤 2：计算(a)图中O点的磁感应强度
(a)图中，导线由两段组成，一段是半径为$a$的半圆弧，另一段是长度为$b$的直线段。对于半圆弧，根据对称性，其在O点产生的磁感应强度方向垂直纸面向里，大小为
$$
B_{半圆} = \frac{\mu_0 I}{4a}
$$
对于直线段，根据毕奥-萨伐尔定律，其在O点产生的磁感应强度大小为
$$
B_{直线} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{1}{b}
$$
因此，O点的总磁感应强度为
$$
B_{总} = B_{半圆} + B_{直线} = \frac{\mu_0 I}{4a} + \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{1}{b}
$$
化简得
$$
B_{总} = \frac{\mu_0 I}{8} \left(\frac{3}{a} + \frac{1}{b}\right)
$$
方向垂直纸面向里。

步骤 3：计算(b)图中O点的磁感应强度
(b)图中，导线由三段组成，一段是半径为$a$的半圆弧，另一段是长度为$b$的直线段，还有一段是半径为$a$的四分之一圆弧。对于半圆弧，根据对称性，其在O点产生的磁感应强度方向垂直纸面向里，大小为
$$
B_{半圆} = \frac{\mu_0 I}{4a}
$$
对于直线段，根据毕奥-萨伐尔定律，其在O点产生的磁感应强度大小为
$$
B_{直线} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{\sqrt{2}}{b}
$$
对于四分之一圆弧，根据对称性，其在O点产生的磁感应强度方向垂直纸面向里，大小为
$$
B_{四分之一圆弧} = \frac{\mu_0 I}{8a}
$$
因此，O点的总磁感应强度为
$$
B_{总} = B_{半圆} + B_{直线} + B_{四分之一圆弧} = \frac{\mu_0 I}{4a} + \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{\sqrt{2}}{b} + \frac{\mu_0 I}{8a}
$$
化简得
$$
B_{总} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \left(\frac{3\pi}{2a} + \frac{\sqrt{2}}{b}\right)
$$
方向垂直纸面向里。