题目

3.计算下列对弧长的曲线积分:-|||-(7)y^2ds,其中L为摆线的一拱 =a(t-sin t), =a(1-cos t)(0leqslant tleqslant 2pi ) ;

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查对弧长的曲线积分计算，涉及参数方程的导数、弧长元素的表达式以及三角函数的积分技巧。

解题核心思路：

  1. 参数方程求导：根据摆线的参数方程，分别对$x$和$y$关于参数$t$求导，得到$\frac{dx}{dt}$和$\frac{dy}{dt}$。
  2. 弧长元素$ds$的表达式：利用公式$ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt$，结合三角恒等式简化表达式。
  3. 积分变量替换：通过变量替换$u = \frac{t}{2}$，将积分转化为标准的$\sin^n u$形式，并利用对称性和递推公式计算定积分。

破题关键点：

  • 正确计算导数：确保$\frac{dx}{dt}$和$\frac{dy}{dt}$的导数正确。
  • 简化弧长元素：利用$1 - \cos t = 2\sin^2\frac{t}{2}$简化积分表达式。
  • 积分技巧：通过变量替换和对称性简化积分计算。

步骤1：计算弧长元素$ds$

根据参数方程：
$\frac{dx}{dt} = a(1 - \cos t), \quad \frac{dy}{dt} = a\sin t$
弧长元素为：
$ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt = \sqrt{a^2(1 - \cos t)^2 + a^2\sin^2 t} dt$
展开并化简：
$= a\sqrt{2(1 - \cos t)} dt = \sqrt{2}a \cdot \sqrt{1 - \cos t} dt$
利用三角恒等式$1 - \cos t = 2\sin^2\frac{t}{2}$，得：
$ds = \sqrt{2}a \cdot \sqrt{2}\sin\frac{t}{2} dt = 2a\sin\frac{t}{2} dt$

步骤2：构建积分表达式

原积分转化为：
$\int_L y^2 ds = \int_0^{2\pi} \left[a(1 - \cos t)\right]^2 \cdot 2a\sin\frac{t}{2} dt$
展开并整理：
$= 2a^3 \int_0^{2\pi} (1 - \cos t)^2 \sin\frac{t}{2} dt$

步骤3：变量替换与积分化简

令$u = \frac{t}{2}$，则$t = 2u$，$dt = 2du$，积分限变为$u \in [0, \pi]$：
$= 4a^3 \int_0^{\pi} (1 - \cos 2u)^2 \sin u du$
利用$1 - \cos 2u = 2\sin^2u$，得：
$= 4a^3 \int_0^{\pi} (2\sin^2u)^2 \sin u du = 32a^3 \int_0^{\pi} \sin^5u du$
利用对称性$\int_0^{\pi} \sin^5u du = 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^5u du$，得：
$= 64a^3 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^5u du$

步骤4：计算定积分

根据递推公式$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n u du = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)}$，当$n=5$时：
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^5u du = \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{15}$
最终结果为：
$$
64a^3 \cdot \frac{8}{15} = \frac{256}{15}a^3



---