题目
证明：方程x+p+qcosx=0恰有一个实数根，其中p,q为常数，且0<q<1.
证明：方程x+p+qcosx=0恰有一个实数根，其中p,q为常数，且0<q<1.
题目解答
答案
证明：令f(x)=x+p+qcosx，由
,知存在b使f(b)>0,
,知存在a使f(a)<0，所UI有零点定理知在(a,b)内至少存在以点c使f(c)=0，即f(x)=0在（a,b）内至少有一个实根，又因为f
(x)=1-qsinx>0,所以f(x)在（
）内单调递增，所以f(x)=0在（）上至多一个实根，所以方程x+p+qcosx=0恰有一个实数根。原命题得证。
解析
步骤 1：定义函数
定义函数$f(x) = x + p + q\cos x$，其中$p$和$q$为常数，且$0 < q < 1$。
步骤 2：分析函数的极限
分析函数$f(x)$在$x$趋向于正无穷和负无穷时的极限。由于$\cos x$的值域为$[-1, 1]$，所以$q\cos x$的值域为$[-q, q]$。因此，当$x$趋向于正无穷时，$f(x)$趋向于正无穷；当$x$趋向于负无穷时，$f(x)$趋向于负无穷。即$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$，$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$。
步骤 3：应用零点定理
根据零点定理，如果一个连续函数在某区间内取值从负到正（或从正到负），则该函数在该区间内至少有一个零点。由于$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$，$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$，所以存在实数$a$和$b$，使得$f(a) < 0$，$f(b) > 0$。因此，根据零点定理，$f(x)$在$(a, b)$内至少有一个零点，即方程$x + p + q\cos x = 0$在$(a, b)$内至少有一个实根。
步骤 4：分析函数的单调性
分析函数$f(x)$的导数$f'(x) = 1 - q\sin x$。由于$0 < q < 1$，所以$-q < -q\sin x < q$，因此$1 - q < 1 - q\sin x < 1 + q$。由于$0 < q < 1$，所以$1 - q > 0$，因此$f'(x) > 0$。所以$f(x)$在$(-\infty, +\infty)$内单调递增，即$f(x)$在$(-\infty, +\infty)$上至多有一个实根。
步骤 5：综合分析
综合步骤3和步骤4，可以得出结论：方程$x + p + q\cos x = 0$在$(-\infty, +\infty)$内恰有一个实数根。
定义函数$f(x) = x + p + q\cos x$，其中$p$和$q$为常数，且$0 < q < 1$。
步骤 2：分析函数的极限
分析函数$f(x)$在$x$趋向于正无穷和负无穷时的极限。由于$\cos x$的值域为$[-1, 1]$，所以$q\cos x$的值域为$[-q, q]$。因此，当$x$趋向于正无穷时，$f(x)$趋向于正无穷；当$x$趋向于负无穷时，$f(x)$趋向于负无穷。即$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$，$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$。
步骤 3：应用零点定理
根据零点定理，如果一个连续函数在某区间内取值从负到正（或从正到负），则该函数在该区间内至少有一个零点。由于$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$，$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$，所以存在实数$a$和$b$，使得$f(a) < 0$，$f(b) > 0$。因此，根据零点定理，$f(x)$在$(a, b)$内至少有一个零点，即方程$x + p + q\cos x = 0$在$(a, b)$内至少有一个实根。
步骤 4：分析函数的单调性
分析函数$f(x)$的导数$f'(x) = 1 - q\sin x$。由于$0 < q < 1$，所以$-q < -q\sin x < q$，因此$1 - q < 1 - q\sin x < 1 + q$。由于$0 < q < 1$，所以$1 - q > 0$，因此$f'(x) > 0$。所以$f(x)$在$(-\infty, +\infty)$内单调递增，即$f(x)$在$(-\infty, +\infty)$上至多有一个实根。
步骤 5：综合分析
综合步骤3和步骤4，可以得出结论：方程$x + p + q\cos x = 0$在$(-\infty, +\infty)$内恰有一个实数根。