题目
4.广义积分 (int )_(1)^+infty dfrac (2x)(1+{x)^4}dx= () .-|||-A.0 B. dfrac (pi )(4) C. dfrac (pi )(2) D.π
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分的类型
题目给出的积分是广义积分，即积分区间为 $[1, +\infty)$。我们需要计算这个积分的值。
步骤 2：寻找合适的积分方法
观察被积函数 $\dfrac{2x}{1+x^4}$，可以尝试使用换元法。令 $u = x^2$，则 $du = 2x dx$，从而将原积分转化为关于 $u$ 的积分。
步骤 3：执行换元积分
将 $u = x^2$ 代入原积分，得到：
$$
\int_{1}^{+\infty} \frac{2x}{1+x^4} dx = \int_{1}^{+\infty} \frac{du}{1+u^2}
$$
这个积分是标准的反正切函数的积分形式，其结果为 $\arctan(u)$。
步骤 4：计算积分的值
将积分结果代入积分上下限，得到：
$$
\int_{1}^{+\infty} \frac{du}{1+u^2} = \arctan(u) \Big|_{1}^{+\infty} = \arctan(+\infty) - \arctan(1)
$$
由于 $\arctan(+\infty) = \frac{\pi}{2}$，$\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$，所以：
$$
\arctan(+\infty) - \arctan(1) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}
$$
题目给出的积分是广义积分，即积分区间为 $[1, +\infty)$。我们需要计算这个积分的值。
步骤 2：寻找合适的积分方法
观察被积函数 $\dfrac{2x}{1+x^4}$，可以尝试使用换元法。令 $u = x^2$，则 $du = 2x dx$，从而将原积分转化为关于 $u$ 的积分。
步骤 3：执行换元积分
将 $u = x^2$ 代入原积分，得到：
$$
\int_{1}^{+\infty} \frac{2x}{1+x^4} dx = \int_{1}^{+\infty} \frac{du}{1+u^2}
$$
这个积分是标准的反正切函数的积分形式，其结果为 $\arctan(u)$。
步骤 4：计算积分的值
将积分结果代入积分上下限，得到：
$$
\int_{1}^{+\infty} \frac{du}{1+u^2} = \arctan(u) \Big|_{1}^{+\infty} = \arctan(+\infty) - \arctan(1)
$$
由于 $\arctan(+\infty) = \frac{\pi}{2}$，$\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$，所以：
$$
\arctan(+\infty) - \arctan(1) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}
$$