一架巡逻直升机在距地面3km的高度以120km/h的常速沿着一条水平笔直的高速公路向前飞行，飞行员观察到迎面驶来一辆汽车，通过雷达测出直升机与汽车间的距离为5km，并且此距离以160km/h的速率减少，试求出此时汽车行进的速度。
一架巡逻直升机在距地面3km的高度以$120km/h$的常速沿着一条水平笔直的高速公路向前飞行，飞行员观察到迎面驶来一辆汽车，通过雷达测出直升机与汽车间的距离为5km，并且此距离以$160km/h$的速率减少，试求出此时汽车行进的速度。
题目解答
答案
【答案】
$80km/h$；方向与直升机速度方向相反。
【解析】
已知，直升机的速度为：${v}_{1}=120km/h$
设汽车的速度为${v}_{2}$，则汽车相对于直升机的水平速度为${v}_{3}={v}_{2}+{v}_{1}$
直升机和汽车的方位关系和速度关系如下图：
由图中几何关系可知：${v}_{3}\cos \alpha ={v}_{4}$
根据题意：${v}_{4}=160km/h$
代入数值联立解得：${v}_{2}=80km/h$,，方向与直升机速度方向相反。
解析
考查要点：本题主要考查相对运动中的速度合成与几何关系的应用，涉及勾股定理和三角函数的理解。
解题核心思路：
- 建立几何模型：利用直升机与汽车的垂直距离（3km）和总距离（5km），确定水平距离（4km）。
- 速度合成：将汽车与直升机的水平速度合成，得到相对速度。
- 速度投影：通过三角函数将相对速度投影到两物体连线方向，建立方程求解。
破题关键点：
- 方向关系：汽车与直升机相向而行，相对速度为两者速度大小之和。
- 几何关系：利用勾股定理确定水平距离，再通过三角函数关联速度分量。
步骤1：确定几何关系
已知直升机距地面高度为$3$ km，总距离为$5$ km，由勾股定理得水平距离：
$\text{水平距离} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4 \, \text{km}.$
步骤2：分析相对速度
设汽车速度为$v_2$，方向与直升机相反。两者水平方向的相对速度为：
$v_3 = v_1 + v_2 = 120 + v_2 \, \text{km/h}.$
步骤3：速度投影与方程建立
两物体连线方向的速度变化率为$160$ km/h，对应水平速度的投影：
$v_3 \cos \alpha = 160,$
其中$\cos \alpha = \frac{\text{水平距离}}{\text{总距离}} = \frac{4}{5}$。代入得：
$(120 + v_2) \cdot \frac{4}{5} = 160.$
步骤4：解方程求汽车速度
解得：
$120 + v_2 = 160 \cdot \frac{5}{4} = 200 \quad \Rightarrow \quad v_2 = 80 \, \text{km/h}.$