题目
11. (5.0分) 设曲线L是区域D: ((x,y)| |x|+|y|A. 对B. 错
11. (5.0分) 设曲线L是区域D: {(x,y)| |x|+|y|<2} 的边界曲线，且取逆时针方向，则由格林公式可知，$\oint_{L}\frac{x dy-y dx}{x^{2}+y^{2}}=0.$
A. 对
B. 错
题目解答
答案
B. 错
解析
步骤 1：分析向量场
向量场 $\mathbf{F}(x, y) = \left( -\frac{y}{x^2 + y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2} \right)$ 在原点 $(0,0)$ 处无定义，且偏导数在原点不连续。因此，向量场在原点处不满足格林公式的条件。
步骤 2：计算偏导数
计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$，其中 $P = -\frac{y}{x^2 + y^2}$ 和 $Q = \frac{x}{x^2 + y^2}$。得到
$$ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}, $$
$$ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}. $$
因此，$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0$。
步骤 3：应用格林公式
由于原点在区域 $D$ 内，格林公式不适用。若排除原点，积分结果应等于原点处的涡旋量，即 $2\pi$，非零。
向量场 $\mathbf{F}(x, y) = \left( -\frac{y}{x^2 + y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2} \right)$ 在原点 $(0,0)$ 处无定义，且偏导数在原点不连续。因此，向量场在原点处不满足格林公式的条件。
步骤 2：计算偏导数
计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$，其中 $P = -\frac{y}{x^2 + y^2}$ 和 $Q = \frac{x}{x^2 + y^2}$。得到
$$ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}, $$
$$ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}. $$
因此，$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0$。
步骤 3：应用格林公式
由于原点在区域 $D$ 内，格林公式不适用。若排除原点，积分结果应等于原点处的涡旋量，即 $2\pi$，非零。